1.3.2 Physikalische Vektorgrößen

 

Basiswissen „Skalare “


Größen, die durch die Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschrieben sind, bezeichnet man als Skalare. Dazu gehören zum Beispiel die Masse oder die Temperatur eines Körpers.
Für den Umgang mit skalaren Größen gelten die bisher bekannten Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, die man schon zu Beginn der Schulzeit lernt.
Beispiel 1.3.19  
Gießt man in einen Topf mit 2l Wasser noch 3l Wasser hinzu, befinden sich 5l Wasser im Topf: 2l+3l=5l.
Beispiel 1.3.20  
Entfernt man aus einem 25- kg-Sack Kartoffeln 2kg, bleiben 23kg übrig: 25kg-2kg=23kg.
Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass Summen oder Differenzen nur gebildet werden können, wenn alle Summanden die gleiche Einheit besitzen. Bei Produkten oder Quotienten können die Einheiten der Größen verschieden sein, wie zum Beispiel bei der Geschwindigkeit, [v]=m/s.


 

Basiswissen „Physikalische Vektorgrößen“
Neben den Skalaren gibt es jedoch auch Größen, die zusätzlich zu einem Zahlenwert und der zugehörigen Einheit noch eine Richtung besitzen, zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Körpers oder auch Kräfte. Solche Größen werden als Vektoren bezeichnet. Vektorgrößen werden durch einen Pfeil über dem Buchstaben gekennzeichnet, z.B. v , F . In manchen Lehrbüchern werden vektorielle Größen auch fett gedruckt.
Anschaulich werden Vektoren in Skizzen durch Pfeile dargestellt. Dabei entspricht die Länge des Pfeils dem Betrag der Größe und die Richtung des Pfeils weist in die Richtung der Größe. Skizziert man ein fahrendes Auto, zeigt der Pfeil in die Richtung, in die das Auto fährt, und die Länge des Pfeils entspricht seiner Geschwindigkeit auf einer vorher festgelegten Skala (zum Beispiel 1cm = ^ 1m/s).
Vektoren können addiert oder subtrahiert werden. Anschaulich ist dies in der Skizze unten dargestellt. Zunächst soll der einfachste Fall dargestellt werden. Die beiden Vektoren a und b zeigen in diesselbe Richtung. Um diese beiden Vektoren zu addieren, wird der Fußpunkt des einen Vektors an die Spitze des anderen Vektors gesetzt. Das Ergebnis ist ein Vektor, der in die gleiche Richtung zeigt und so lang ist wie beide Vektoren hintereinander.

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Abbildung 24: Skizze für die Addition und Subtraktion von Vektoren (C)



Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer positiven Zahl wird der Vektor so oft wie gewünscht hintereinander gesetzt, im Beispiel dreimal. Es sind jedoch auch Werte kleiner eins möglich, dann erhält man einen kürzeren Vektor als zuvor. Ist die Zahl negativ, ändert sich die Richtung des Vektors, bildlich gesprochen zeigt der Pfeil in die andere Richtung.

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Abbildung 25: Skizze für die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren (C)



Es können jedoch auch zwei Vektoren, die in beliebige Richtungen zeigen, addiert oder subtrahiert werden. Bei der Addition wird der Anfangspunkt des einen Vektors an den Endpunkt des anderen Vektors geschoben. Der resultierende Vektor a + b verbindet den Anfangspunkt des ersten mit dem Endpunkt des zweiten Vektors. Bei der Subtraktion a - b wird zuerst der Gegenvektor zu b gebildet und dieser dann zu Vektor a addiert. In der Skizze sieht man, dass die Richtung und auch die Länge des resultierenden Vektors nun von der Lage der beiden Vektoren a und b zueinander abhängt.

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Abbildung 26: Skizze für die Addition und Subtraktion von beliebigen Vektoren (C)



Wie können der Betrag und die Richtung des resultierenden Vektors rechnerisch ermittelt werden? Die Anfertigung einer Skizze ist hier immer hilfreich. Es sollen der Betrag der beiden Vektoren a und b und der Winkel α, der zwischen den beiden Vektoren a und b eingeschlossen ist, bekannt sein. Im einfachsten Fall ist der Winkel α=90 , wie unten in der Skizze links dargestellt ist. Der Betrag des resultierenden Vektors wird in diesem Fall einfach über den Satz des Pythagoras berechnet:

| c |2 =| a |2 +| b |2 .

Die Richtung des resultierenden Vektors kann dann in Bezug zu den anderen Vektoren angegeben werden. Der Winkel φ, der zwischen Vektor b und dem Vektor c liegt, kann mit den Winkelfunktionen bestimmt werden:
 
cos(φ)= | b | | c | oder sin(φ)= | a | | c | oder tan(φ)= | a | | b | .  
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Abbildung 27: Skizze für den Betrag des resultierenden Vektors in rechtwinkligem Dreieck (C)



Im allgemeinen Fall ist der zwischen den Vektoren eingeschlossene Winkel α beliebig. Die nachfolgende Skizze zeigt, dass hier einige geometrische Überlegungen notwendig sind. Betrachten wir zuerst die Winkel im Parallelogramm. Der Winkel α tritt am Anfang und am Ende des Vektors c auf, ebenso kommt der Winkel γ zweimal vor. In einem Viereck beträgt die Winkelsumme 360°. Damit ergibt sich für den Winkel:

γ= 1 2 (360 -2·α)=180 -α

und der Cosinussatz ergibt:

| c |2 =| a |2 +| b |2 -2·| a |·| b |·cos(γ).

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Abbildung 28: Skizze für den Betrag des resultierenden Vektors in beliebigem Dreieck (C)



Zur Berechnung des Winkels zwischen dem resultierenden Vektor c und dem Vektor a kann der Sinussatz verwendet werden:
 
| b | sin(φ) = | c | sin(γ) sin(φ)= | b | | c | ·sin(γ).
 
Beispiel 1.3.21  
Zwei Vektoren a und b schließen einen Winkel von 30 ein. Die Beträge der Vektoren liegen bei | a |=6 und | b |=3.
Wie groß ist der Betrag des resultierenden Vektors und welchen Winkel φ schließt er mit Vektor a ein?
Zunächst machen wir eine Skizze:

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Abbildung 29: Skizze zur Lösung der Aufgabe (C)



Um die gesuchten Größen (rot markiert) zu bestimmen, muss zuerst der Winkel γ berechnet werden. Es gilt:

γ=180 -30 =150 .

Jetzt kann der Cosinussatz angewendet werden und man erhält den Betrag des resultierenden Vektors | c |:
 
| c |2 =| a |2 +| b |2 -2·| a |·| b |·cos(γ) = 32 + 62 -2·3·6·cos(150 )
| c |2 =45-36·( -3 2 )
| c |8,73.
 
Mit dem Sinussatz erhalten wir für den Winkel α:
 
| b | sin(φ) = | c | sin(γ) sin(φ)= | b | | c | ·sin(γ)
sin(φ) 3 8,73 ·sin(150 ) = 3 8,73 · 1 2 0,17
φ=9,90 .
 
Einfache ebene Probleme mit Vektoren können durch geometrische Überlegungen und Skizzen gelöst werden. Eine weitere Möglichkeit, Problemstellungen mit Vektoren zu lösen, bietet die Vektoralgebra. Sie soll im nächsten Abschnitt erläutert werden.
Hier finden Sie die Vektoraddition am Beispiel von Kräften:
 
Animation zur Vektoraddition von Walter Fendt

 

Basiswissen „Vektoralgebra“
Eine elegante Methode zur Behandlung von Vektoren bietet die Vektoralgebra. Dabei wird ein Vektor in Bezug zu einem Koordinatensystem beschrieben. Aufgrund der besseren Anschaulichkeit betrachten wir das Problem in der Ebene, und die Achsen des Koordinatensystems sollen rechtwinklig aufeinander stehen (ein Koordinatensystem, bei dem alle Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, bezeichnet man als kartesisches Koordinatensystem). Der Vektor a liegt im Koordinatensystem mit seinem Anfangspunkt im Ursprung. Die Beschreibung des Vektors erfolgt jetzt über die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen.
In der Vektorschreibweise werden die einzelnen Koordinaten untereinander geschrieben und in eine Klammer gesetzt:

a =( ax ay ).

Die Reihenfolge, in der die verschiedenen Koordinaten von oben nach unten aufgeführt werden, ist vorher festgelegt (z.B. ax , ay ). Bei mehr als zwei Koordinaten enthält der Vektor entsprechend mehr Werte ( ax , ay , az oder a1 , a2 , a3 , ..., an ).
Beispiel 1.3.22  
Wir betrachten den in der Abbildung gezeigten Vektor a .

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Abbildung 31: Darstellung eines Vektors in kartesischem Koordinatensystem (C)



Die Projektion des Vektors auf die x-Achse ergibt den Wert 5, und die Projektion auf die y-Achse ergibt den Wert 2. Damit ist der Vektor durch seine Koordinaten ( ax =5, ay =2) beschrieben:

a =( 5 2 ).

Möchte man einen Vektor a mit einem Skalar λ multiplizieren, also den Vektor strecken oder stauchen, muss jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert werden:
 
λ· a =λ·( ax ay ) =( λ· ax λ· ay ).
 
Beispiel 1.3.23  
Der Vektor a =( 5 2 ) soll mit der Zahl drei multipliziert werden. Der Vektor soll also immer noch in die gleiche Richtung zeigen, aber dreimal so lang sein wie ursprünglich. Es ergibt sich dann als Lösung:
 
3·( 5 2 ) =( 3·5 3·2 ) =( 15 6 ).
 
Die Addition oder Subtraktion von Vektoren erfolgt koordinatenweise. Jeweils die gleichen Koordinaten werden addiert oder subtrahiert. Es gelten folgende Rechenregeln:
 
a + b =( ax ay )+( bx by ) =( ax + bx ay + by ) oder a - b =( ax ay )-( bx by ) =( ax - bx ay - by ).
 
Beispiel 1.3.24  
Zwei Vektoren a =( 5 2 ) und b =( 2 4 ) sollen addiert beziehungsweise subtrahiert werden. Es ergeben sich als Summe und Differenz:
 
a + b =( 5 2 )+( 2 4 ) =( 5+2 2+4 ) =( 7 6 ) oder a - b =( 5 2 )-( 2 4 ) =( 5-2 2-4 ) =( 3 -2 ).
 
In der Abbildung ist die Aufgabe skizziert. Man setzt wie im letzten Abschnitt besprochen die Vektoren aneinander und bestimmt den resultierenden Vektor. Bei Betrachtung der Skizze wird deutlich, dass sich aufgrund der Geometrie obige Rechenregeln ergeben.

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Abbildung 32: Addition und Subtraktion zweier Vektoren (C)



Wie kann aus dieser Schreibweise nun der Betrag eines Vektors bestimmt werden? Anschaulich liegt dieser Rechnung der Satz des Pythagoras zugrunde, wie mit Hilfe der Abbildung unten zu erkennen ist. Der Vektor a besitzt als Koordinate in x-Richtung den Wert ax und in y-Richtung den Wert ay :

a =( ax ay ).

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Abbildung 33: Vektor in kartesischem Koordinatensystem (C)



In der Skizze sieht man, dass der Vektor a der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck entspricht. Den beiden Katheten entsprechen die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen.
Damit ergibt sich für den Betrag des Vektors nach dem Satz des Pythagoras:
 
| a |2 = ax 2 + ay 2 | a |= ax 2 + ay 2 .
 
Beispiel 1.3.25  
Der Betrag des Vektors a =( 3 4 ) soll berechnet werden. Man erhält:
 
| a |2 = 32 + 42 | a |= 32 + 42 =9+16 =25=5.
 
Im Fall, dass der Vektor, dessen Betrag man berechnen möchte, mehr als zwei Komponenten hat, muss der Betrag entsprechend erweitert werden:
 
| a |2 = ax 2 + ay 2 + az 2 | a |= ax 2 + ay 2 + az 2 .
 
 
In vielen Problemstellungen ist die Richtung eines Vektors gesucht, das bedeutet, man muss den Winkel φ, der zwischen zwei Vektoren a und b liegt, bestimmen. Dieser lässt sich mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen. Dabei werden zwei Vektoren skalar miteinander multipliziert und als Ergebnis erhält man einen Skalar.
Für das Skalarprodukt gilt mit 0 φ180 :
 
a · b = | a |·| b |·cos(φ)
 
oder in Koordinatenschreibweise (zwei Komponenten):
 
a · b = ax · bx + ay · by
 
oder (drei Komponenten):
 
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz .
 
In der Koordinatenschreibweise werden beim Skalarprodukt jeweils die gleichen Koordinaten der beiden Vektoren miteinander multipliziert und aufsummiert. Im Fall von drei Komponenten kommt ein weiterer Summand hinzu, bei mehr als drei Komponenten muss die Gleichung entsprechend erweitert werden.
Beispiel 1.3.26  
Gesucht ist der Winkel φ, der von den zwei Vektoren a =( 5 2 ) und b =( 2 4 ) eingeschlossen ist. Mit den obigen Beziehungen kann das Skalarprodukt über die Beträge bestimmt werden. In dieser Gleichung ist der gesuchte Winkel versteckt:
 
a · b =|( 5 2 )|·|( 2 4 )|·cos(φ) = 52 + 22 · 22 + 42 ·cos(φ) =29·20·cos(φ) =580·cos(φ).
 
Gleichzeitig gilt für das Skalarprodukt:
 
a · b =( 5 2 )·( 2 4 ) =5·2+2·4 =18.
 
Durch Gleichsetzen und Umformen erhält man den gesuchten Winkel φ:
 
580·cos(φ)=18 cos(φ)= 18 580 = 9 145 0,75 φ41,6 .
 
Unter dem folgenden Link können Sie den Vektor einer Kraft in zwei Komponenten zerlegen:
 
Zerlegung einer Kraft von Walter Fendt

Aufgabe 1.3.27  
 
Gegeben sind die beiden in der Skizze dargestellten Vektoren a und b . Addieren Sie die Vektoren und berechnen Sie den Betrag des resultierenden Vektors.
 
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Abbildung 34: Skizze (C)



| c | =




Aufgabe 1.3.28  
 
Wenn Sie die beiden Vektoren a und b addieren, ergibt sich ein Vektor c . Wie groß ist der Winkel φ, der von b und c eingeschlossen wird?
Geben Sie Ihr Ergebnis in auf eine Nachkommastelle gerundet an.
 
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Abbildung 36: Skizze (C)



φ =




Aufgabe 1.3.29  
 
Gegeben sind die in der Skizze gezeigten Vektoren a , b mit | a |=9 und | b |=12. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt 60 . Berechnen Sie den Betrag | c | des resultierenden Vektors c .
Geben Sie den Wert auf eine Nachkommastelle gerundet an.
 
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Abbildung 38: Skizze (C)



| c | =




Aufgabe 1.3.30  
 
Gegeben sind zwei Vektoren a , b mit | a |=9 und | b |=12. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt 60 . Welchen Winkel schließt der resultierende Vektor c mit Vektor b ein?
Tipp: Die Aufgabe ist die Fortsetzung der vorhergehenden Aufgabe.
 
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Abbildung 40: Skizze (C)



φ =




Aufgabe 1.3.31  
 
Berechnen Sie die Koordinaten x, y und z des Vektors a - b mit a =( 1 3 5 ) und b =( 2 3 -1 ):

x =


y =


z =




Aufgabe 1.3.32  
 
Berechnen Sie den Betrag des Vektors a =( 4 12 3 ):

| a | =




Aufgabe 1.3.33  
 
Wie groß ist der Winkel φ, der von den Vektoren a und b eingeschlossen wird?  
Es gilt für a =( 1 3 5 ) und b =( 2 3 -1 ). Geben Sie das Ergebnis mit einer Nachkommastelle an.

φ =




Aufgabe 1.3.34  
 
Wie groß ist der Betrag des resultierenden Vektors c =2· a -3· b ?  
Für a und b gilt: a =( -8 15 1/2 ) und b =( -4 6 7/3 )

| c | =




Aufgabe 1.3.35  
 
Welchen Winkel φ schließt der Vektor a =( 2 7 -3 ) mit der x-Achse ein? Geben Sie den Winkel in Grad mit einer Nachkommastelle an.

φ =




 

Skalare (!)


Die bisher vorgestellten physikalischen Größen sind Skalare. Sie dienen dazu, das Ausmaß einer physikalischen Größe anzugeben. Skalare können also nur angeben, ob etwas groß oder klein ist. Manche Skalare können negativ oder positiv sein. Um Skalare zu beschreiben, benötigt man nur einen Zahlenwert und eine Einheit.
Beispiel 1.3.36  
  • Länge einer Brücke: l=350m

  • Masse eines Autos: m=1400kg

  • Dichte von Wasser: ρ=1000kg/ m3



Video 16: Definition von Vektorgroessen (C) .



 

Vektoren (!)


Physikalische Größen, die zusätzlich zu einem Zahlenwert eine Richtung angeben, sind Vektoren. Für diese Größen gibt es spezielle Rechenregeln (siehe unten). Um Vektoren und Skalare in ihrer Schreibweise voneinander zu unterscheiden, werden vektorielle Größen fett gedruckt oder mit einem Pfeil über dem Zeichen dargestellt ( v= v ). Betrachtet man nur den Betrag eines Vektors, reduziert man die Information des Vektors auf einen Skalar. Der Vektorbetrag wird deshalb entweder durch das Variablenzeichen in nicht fettgedruckter Schreibweise oder durch ergänzende Betragsstriche notiert ( v=| v |). Vektoren werden als Pfeile dargestellt. Dabei gibt die Orientierung der Pfeilspitze die Richtung der vektoriellen Größe an, während die Länge des Pfeiles den Betrag des Vektors beschreibt.

Beispiel 1.3.37  
  • Geschwindigkeit eines Autos v (Geschwindigkeitsbetrag und Fahrtrichtung)

  • Kraft F einer Feder (Stärke der Federkraft und Richtung der Kraft)



Beispiel 1.3.38  
Vektordarstellung: Ortsvektor r und Geschwindigkeitsvektor v eines Körpers.

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Abbildung 44: Skizze (C)





 

Kartesische Koordinaten (!)


Video 17: Kartesische Koordinaten (C) .



Video 18: Koordinatenschreibweisen (C) .



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Abbildung 45: Skizze (C)



Im dreidimensionalen Raum benötigt man für die Darstellung eines Vektors genau drei reelle Zahlen. Meistens werden dafür die drei Komponenten des Vektors in Richtung der x-, y- und z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems gewählt. Die Komponenten des Vektors v bezeichnet man mit vx , vy und vz . Eine häufig benutzte Schreibweise für Vektoren ist der sogenannte Spaltenvektor, bei dem die einzelnen Komponenten vertikal untereinander notiert sind,

v =( vx vy vz ).



Beispiel 1.3.39  
Der Geschwindigkeitsvektor eines Flugzeugs im Landeanflug betrage:

v =( 50 150 -10 ) m s .



 

Betrag eines Vektors (!)


Video 19: Betrag eines Vektors (C) .

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Abbildung 46: Skizze (C)



Der Betrag des Vektors ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras zu:
 
v=| v |= vx 2 + vy 2 + vz 2 .
 


Der Betrag einer Vektorgröße ist also ein Skalar.


Video 20: Beispiel für Betragsbestimmung (C) .



Beispiel 1.3.40  
Der Betrag der Geschwindigkeit des Flugzeugs aus obigem Beispiel ist:
 
v=| v |= (50  m s )2 + (150  m s )2 + (10  m s )2 158  m s .
 


 

Addition zweier Vektoren (!)


Video 21: Vektoraddition graphisch und in Koordinatenschreibweise (C) .



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Abbildung 47: Skizze (C)



Die Addition von zwei Vektoren erfolgt einfach durch die Addition der einzelnen kartesischen Komponenten:
 
w = u + v = ( ux + vx uy + vy uz + vz ).
 


Die Summe zweier Vektoren ist wieder ein Vektor.


Skizze: In der folgenden interaktiven Skizze ist die Addition zweier Vektoren u und v graphisch in einer Ebene dargestellt. Die beiden Vektoren liegen hier in der x- y-Ebene. Aus der Mathematik ist man vermutlich gewohnt, dass die beiden zu summierenden Vektoren aneinandergehängt werden. Der Vektor zwischen dem Ursprung des ersten Vektors und der Pfeilspitze des zweiten Vektors ist dann der Summenvektor. In der Physik werden die Vektoren meistens vom gleichen Punkt aus abgetragen (roter Vektor in der Skizze). Der Summenvektor ergibt sich dann als die Diagonale des entstehenden Vektor-Parallelogramms. Der Grund für diese Darstellung ist, dass Vektoren sich oft auf einen Massenpunkt oder einen Ortspunkt beziehen. Ein Beispiel wäre die Berechnung der Gesamtkraft aus zwei Kräften, die an einem Körper angreifen. Hier wäre es nicht intuitiv, wenn der Ursprung einer der beiden Kraftvektoren an die Pfeilspitze des anderen Kraftvektors verschoben würde, da ja beide Kräfte am Körper angreifen. In der vorliegenden Skizze wurden beide Möglichkeiten in eine Darstellung integriert, indem der Vektor v einmal am Bezugspunkt und einmal an der Pfeilspitze des Vektors u abgetragen wurde. Wie man sieht, ergibt sich für den Summenvektor natürlich das gleiche Ergebnis. Das Vektor-Parallelogramm ist als schattierte Fläche dargestellt. Ziehen Sie an den Pfeilspitzen und ändern Sie so auch den Summenvektor. Probieren Sie, den Summenvektor zum Verschwinden zu bringen. Wann wird bei einer gegebenen Länge der Ausgangsvektoren der Summenvektor maximal?

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Skalarprodukt zweier Vektoren (!)


Video 22: Skalarprodukt (C) .



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Abbildung 48: Skizze (C)



Bei Vektoren gibt es zwei Arten der Produktbildung, die sich mathematisch und in ihrer Bedeutung unterscheiden. Die erste Möglichkeit ist das Skalarprodukt (auch Punkt-Produkt genannt). Hier wird ein Punkt ( ·) als Rechenzeichen zwischen die beiden Vektoren gesetzt. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar. In der kartesischen Darstellung der Vektoren wird das Skalarprodukt berechnet, indem man die sich entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren miteinander multiplizert und danach die Summe über die gewonnenen Produkte bildet. Alternativ kann es aus dem Produkt der beiden Vektorbeträge und des Kosinus des Zwischenwinkels der beiden Vektoren berechnet werden:
 
u · v = ux vx + uy vy + uz vz =| u | | v | cosφ( u , v ) =u  v ,
 
wobei v =vcosφ. Die Länge | v | erhält man, indem man den Vektor v auf die Richtung des Vektors u projiziert. Das Vorzeichen von v wählt man dann so wie das Vorzeichen von cosφ, also positiv, wenn die Projektion in Richtung des Vektors u erfolgt, und negativ, wenn sie entgegengesetzt gerichtet ist. Üblicherweise wird als Winkel φ zwischen zwei Vektoren derjenige gewählt, der zwischen 0 und π liegt, der alternative Winkel ist dann 2π-φ. Wegen cos(2π-φ)=cos(φ) ist das Ergebnis aber das gleiche.

Das Skalarprodukt ist kommutativ, es gilt also u · v = v · u .


Skizze: In der folgenden interaktiven Skizze wird das Skalarprodukt der Vektoren u und v graphisch in einer Ebene dargestellt. Die beiden Vektoren liegen hier in der x- y-Ebene. Ziehen Sie an den Pfeilspitzen und ändern Sie so das Skalarprodukt. Zu sehen ist die Berechnung des Skalarprodukts. Sie aktualisiert sich jeweils interaktiv bei Änderungen an den Vektoren. Oben rechts in der Skizze sieht man in der oberen Zeile die jeweils passende mathematische Berechnung mit Hilfe der Vektorbeträge und des Zwischenwinkels. In der unteren Zeile wird die Projektion des einen Vektors auf die Richtung des anderen genutzt, um das Skalarprodukt zu berechnen. Wann verschwindet das Skalarprodukt und wann wird es maximal? Wann wird das Skalarprodukt negativ?

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Vektorprodukt zweier Vektoren (+)


Video 23: Vektorprodukt (C) .



Vektorprodukt: Einführung  
Eine zweite Möglichkeit der Produktbildung von Vektoren ist das Vektorprodukt. Beim Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) wird ein Kreuz ( ×) als Rechenzeichen zwischen die beiden Vektoren gesetzt. Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist wieder ein Vektor. In der kartesischen Darstellung kann das Vektorprodukt mit Hilfe der nachfolgend beschriebenen Rechenregel aus den Komponenten der Vektoren berechnet werden. Dabei ergibt sich die Richtung des Ergebnisvektors so, dass er senkrecht auf der Ebene steht, in der die beiden Vektoren liegen (für die Richtung gilt die „Rechte-Hand-Regel“):
 
u × v = ( uy vz - uz vy uz vx - ux vz ux vy - uy vx ).
 


Video 24: Betrag des Vektorprodukts (C) .



Vektorprodukt: Betrag  
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Abbildung 49: Skizze (C)



Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich dem Produkt der Vektorbeträge und dem Betrag des Sinus des Zwischenwinkels:
 
| u × v |= | u | | v | |sinφ( u , v )| =|u v |,
 
wobei v =v|sinφ|. Die Länge v erhält man, indem man den Vektor v auf die Ebene senkrecht zum Vektor u projiziert – diese Projektion liegt in der durch u und v aufgespannten Ebene. Bei der Standardwahl für den Zwischenwinkel, 0φ( u , v )π, ist der Sinus stets nicht negativ, und die Betragsstriche um den Sinus können dann entfallen. Der Betrag des Vektorprodukts, | u × v |, entspricht der Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms.


Vektorprodukt: Eigenschaften  
Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, genauer gesagt ist es antikommutativ, denn es gilt u × v =- v × u .


Skizze: In der folgenden interaktiven Skizze wird das Vektorprodukt der Vektoren u und v graphisch in einer Ebene dargestellt. Die beiden Vektoren liegen in der x- y-Ebene. Ziehen Sie an den Pfeilspitzen und ändern Sie so das Vektorprodukt. Zu sehen ist die Berechnung des Vektorprodukts. Sie aktualisiert sich jeweils mit Ihren Änderungen an den Vektoren. Da beide Vektoren in der x- y-Ebene liegen, wird das Ergebnis des Vektorprodukts ein Vektor entlang der z-Achse sein (senkrecht zur Bildschirmebene). Daher wird nur die z-Komponente des Ergebnisvektors berechnet und angegeben. Ist das angegebene Ergebnis positiv, zeigt der Ergebnisvektor aus der Bildschirmebene heraus, ist es negativ, zeigt er in die Bildschirmebene hinein. In der ersten Zeile wird die Rechnung mit Hilfe der Vektorbeträge und des Zwischenwinkels durchgeführt. Dieser wird dabei so gewählt, dass der Vektor u gegen den Uhrzeigersinn auf den Vektor zu v gedreht wird. In der zweiten Zeile wird die Projektion des einen Vektors auf die Richtung senkrecht zu der des anderen genutzt, um das Vektorprodukt zu berechnen. Darüber hinaus wird das Parallelogramm gezeigt, das von den beiden Vektoren u und v aufgespannt wird. Seine Fläche ist durch den Betrag des Vektorprodukts, | u × v |, gegeben. Wann verschwindet das Vektorprodukt und wann wird es maximal? Wann wird die z-Komponente des Vektorprodukts negativ?

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Video 25: Richtung des Vektorprodukts (C) .



Vektorprodukt: Richtung  
Für die Richtung des Ergebnisvektors des Vektorprodukts u × v gilt wie oben gesagt die „Rechte-Hand-Regel“, d.h., wenn Sie mit dem Daumen der rechten Hand in Richtung u und mit dem Zeigefinger in Richtung v zeigen, dann gibt die Richtung des Mittelfingers die Richtung des Ergebnisvektors von u × v an:
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Abbildung 50: (C)