1.3.3 Signifikante Stellen und Runden

 

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Signifikante Stellen
Eine wichtige Frage bei dem Umgang mit physikalischen Größen ist, wie genau diese bekannt sind. Gehen mehrere physikalische Größen in eine Berechnung ein, ist zu klären, wie sicher das Endergebnis ist. Die genaue Behandlung dieser Fragen ist Gegenstand der Fehlerrechnung. Wird kein genauer Bereich für die Unsicherheit einer physikalischen Größe angegeben, sollte der Zahlenwert so aufgeschrieben werden, dass die Unsicherheit die Ziffer an der letzten Stelle betrifft. Die so aufgeschriebenen Ziffern, ohne eventuelle Nullen am Anfang, werden als signifikante Stellen bezeichnet.

Beispiel 1.3.53  
Ohne Erfahrung ist es nicht so einfach, die Höhe eines Baumes zu schätzen. Hier könnte eine signifikante Stelle genügen. Wird als geschätzte Höhe lediglich 7m angegeben, ist anzunehmen, dass die 7 schon unsicher ist, vielleicht sind es aber auch 6m oder 9m.


Beispiel 1.3.54  
Die Körpergröße lässt sich mit einem Maßband und zum Beispiel einem Türrahmen, einem Bleistift und einem Buch schon genauer bestimmen. Hier können drei Stellen, etwa 168cm, sinnvoll sein. Auch wenn noch eine vierte Stelle abgelesen werden kann, etwa 168,4cm bzw. 1684mm, sollte auf drei Stellen gerundet werden. Die Messunsicherheit liegt im Prozentbereich. Unabhängig davon beträgt die tägliche Schwankung bis zu 2cm.


Wird keine genaue Fehlerrechnung durchgeführt, sollten für die vier Grundrechenarten folgende Regeln verwendet werden:

  • Bei Multiplikationen und Divisionen wird für das Ergebnis die kleinste vorkommende Anzahl an signifikanten Stellen verwendet. Liefert zum Beispiel ein Strommessgerät I=483mA für den elektrischen Strom durch einen Drahtwiderstand mit Ohm'schem Widerstand R, kann der Spannungsabfall U gemäß U=R·I berechnet werden. Einfache Widerstände können jedoch im Bereich von 10% von den angegebenen Werten abweichen. Für einen einfachen Widerstand mit der Angabe 4,7Ω sollte der berechnete Spannungsabfall auf nur zwei Stellen gerundet angegeben werden, also das rechnerische Ergebnis von 2270,1mV auf 2,3V gerundet werden.

  • Bei Additionen und Subtraktionen wird für das Ergebnis die kleinste vorkommende Anzahl an Nachkommastellen verwendet, wobei die Größen zunächst so umgewandelt werden, dass die Angabe mit dem gleichen Zehnerexponenten und der gleichen physikalischen Einheit erfolgt. Ist zum Beispiel die Massenangabe für eine Tafel Schokolade 98g und für die Verpackung 4,6g, ist als Gesamtmasse nicht das rechnerische Ergebnis von 102,6g anzugeben, da die Schokoladenmasse mit null Nachkommastellen angegeben ist. Als gerundetes Endergebnis sollen daher 103g angegeben werden.

  • Bei Zwischenrechnungen sollte natürlich nicht gerundet werden.



Zahlenwerte werden gegebenenfalls bei den Aufgaben in diesem Kurs dann als richtig gewertet, wenn sie nach den Regeln oben auf die passende Anzahl signifikanter Stellen gerundet sind.

Beispiel 1.3.55  
Soll die Summe von 3,4· 104 m und 3,2km berechnet werden, so lautet die Rechnung mit richtiger Rundung

3,4· 104 m  +  3,2km    =    (3,4+0,32)· 104 m    =    3,7· 104 m    =    37km.



 

Runden
Bei dem üblicherweise in der Schule unterrichteten Runden wird die erste wegfallende Ziffer betrachtet. Ist diese 0, 1, 2, 3 oder 4, wird die letzte behaltene Ziffer nicht verändert, was als Abrunden bezeichnet wird. Ist die erste wegfallende Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9, wird die letzte behaltene Ziffer um eins erhöht, was als Aufrunden bezeichnet wird.

Aufgabe 1.3.56  
  1. Eingabefeld mit vorgegebener Einheit: Zahlenwerte eingeben, dabei auf angegebene Einheit und gegebenenfalls geforderte Rundung achten
     
    Wenn man 5,24m und 20cm addiert, so erhält man
     
    • in Metern
      m aber

    • in Zentimetern
      cm oder

    • in Kilometern
      km bei Eingabe aller Stellen oder

    • in Kilometern
      km mit Rundung auf zwei Nachkommastellen.

    Die Lösung kann auch in nicht ausgerechneter Form eingegeben werden wenn keine Rundung zu berücksitigen ist.

  2. Eingabefeld ohne vorgegebene Einheit: Zahlenwerte und Einheit eingeben, dabei auf die gegebenenfalls geforderte Rundung achten
     
    Wie groß ist die Gewichtskraft einer Kiste mit einer Masse von m=7,50kg in der Nähe der Erdoberfläche?
    Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommestelle.
    Fg =

    Auch hier kann die Lösung in nicht ausgerechneter Form eingegeben werden, wenn keine Rundung zu berücksichtigen ist. Potenzen in Einheiten können mit „^“ eingegeben werden: z.B. 58,3kgms-2 = ^ 58,3kgms^-2.

  3. Eingabefeld ohne vorgegebene Einheit mit Prüfung der signifikanten Stellen: Zahleneingabe der Form xx*E-yy bei Beachtung der signifikanten Stellen
     
    Welchen Flächeninhalt A hat ein Rechteck mit den Kantenlängen a=10,3m und b=1,30m
    A = E 

    Es muss eine großes „E“ bei der Eingabe verwendet werden. Das Plus bei positiven Exponenten kann weggelassen werden.
    Hier gibt es drei signifikante Stellen.