2.2.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Für dieses Thema ist der Begriff der Ableitung von zentraler Bedeutung, der z.B. im Onlinekurs Mathematik, Kapitel 7 behandelt wird.



Zu Illustration der Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung greifen wir hier der Einführung der geradlinigen Bewegungen im Lektionstext Abschnitt 2.2.2 ein wenig vor. Dabei betrachten wir zunächst die im folgenden dargestellten Zusammenhänge als experimentell gegeben. Eine Herleitung folgt in Abschnitt 2.2.2.

 

Basiswissen „Gleichförmige Bewegung “


In diesem Abschnitt werden wir ein bisher unbekanntes Zeichen Δ verwenden. Dieses Zeichen ( Δ, gesprochen: Delta, ist der vierte Buchstabe des griechischen Alphabets als Großbuchstabe) steht im Allgemeinen für eine Differenz zwischen zwei Werten. In der folgenden Abbildung ist dies veranschaulicht. t1 und t2 bezeichnen zwei Zeitpunkte. Für das Zeitfenster zwischen diesen beiden Zeitpunkten schreibt man üblicherweise Δt= t2 - t1 . Ebenso kann diese Schreibweise für andere Differenzen verwendet werden. s1 und s2 kennzeichnen zwei beliebige Ortspunkte. Für das Wegstück dazwischen kann geschrieben werden: Δs= s2 - s1 .

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Abbildung 548: Erklärung des Zeichens Δ (C)



Legt ein Körper in gleichen Zeiten Δt gleiche Wege Δs zurück, spricht man von einer gleichförmigen Bewegung. Verdoppelt sich der zurückgelegte Weg s=2·Δs, dann verdoppelt sich ebenfalls die benötigte Zeit t=2·Δt. Der zurückgelegte Weg und die benötigte Zeit sind zueinander proportional.
Der Quotient aus Wegstrecke Δs und Zeitintervall Δt wird als Geschwindigkeit v bezeichnet und ändert sich während der Bewegung nicht:

v= Δs Δt oder v= s t .

Die Einheit der Geschwindigkeit ist: [v]= m s .
Dieser Sachverhalt ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Das rechte Schaubild zeigt die Geschwindigkeit während der Bewegung: sie bleibt unverändert. Im linken Schaubild sieht man den Zusammenhang zwischen zurückgelegter Wegstrecke und benötigter Zeit. Es ergibt sich eine Ursprungsgerade, deren Steigung der Geschwindigkeit entspricht.
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Abbildung 549: Gleichförmige Bewegung (C)


Sind zwei der drei Größen bekannt, kann mit diesen und der obenstehenden Gleichung die dritte berechnet werden. Diese Überlegungen gelten so auch für nicht geradlinige Bewegungen.
Beispiel 2.2.1  
Ein Auto legt in einer Zeit von t=3Stunden eine Strecke von s=360km zurück. Wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit v ?

v = s t = 360km 3h = 120km h .

Der Querstrich über der Geschwindigkeit gibt an, dass es sich um eine mittlere Geschwindigkeit handelt. Das Auto ist während seiner Tour sicher nicht konstant mit der Geschwindigkeit von 120km/h gefahren, sondern manchmal etwas schneller oder auch etwas langsamer.
Beispiel 2.2.2  
Die Lichtgeschwindigkeit beträgt etwa c=300000000m/s. Licht braucht für seinen Weg von der Sonne bis zu unserem Planeten etwa 8Minuten. Wie weit ist die Sonne von uns entfernt?

s=v·t=300000000 m s ·480s=1,44· 108 km=144Millionenkm.

Tatsächlich liegt der mittlere Abstand bei 149,6 Millionen Kilometer.
Beispiel 2.2.3  
Der Mond bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von v=1km/s um die Erde. Es soll die Umlaufzeit des Mondes um die Erde berechnet werden. Der Einfachheit halber nehmen wir an, die Bahn sei eine Kreisbahn mit dem Radius r=384400km. Zuerst muss die Länge L der Kreisbahn berechnet werden:

L=2·π·r=2·π·384400km.

Zur Berechnung der Umlaufzeit formen wir die Gleichung nach der Zeit t um. Der zurückgelegte Weg s entspricht dem Kreisumfang L:

t= s v = 2·π·384400km 1km/s 2415256s27,95Tage.

Die genaue Umlaufzeit liegt bei 27,3217Tagen.
 

Basiswissen „Gleichmäßig beschleunigte Bewegung “


Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine Bewegung, bei der ein Körper einer konstanten Beschleunigung ausgesetzt ist. Die Geschwindigkeit wird dabei mit zunehmender Zeit immer größer. Dabei ist die Geschwindigkeitszunahme Δv in gleich lang dauernden Zeitintervallen Δt immer gleich groß, d.h. die Geschwindigkeit ist proportional zur Zeit.
Für den Proportionalitätsfaktor a gilt: a= Δv Δt .
Dieser Faktor a wird als Beschleunigung bezeichnet und gibt die Zunahme der Geschwindigkeit pro Zeit an. Die lineare Erhöhung der Geschwindigkeit hat zur Folge, dass zwischen dem zurückgelegten Weg und der Zeit kein linearer Zusammenhang mehr besteht.
Für die Beziehung zwischen Weg und Zeit ergibt sich ein zusätzlicher quadratischer Term: s= 1 2 ·a· t2 .
Diese Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit sind in den folgenden Abbildungen dargestellt. In der rechten Abbildung ist die konstante Beschleunigung als Funktion der Zeit gezeigt. Unabhängig vom betrachteten Zeitpunkt ergibt sich immer der gleiche Wert für die Beschleunigung. Im mittleren Diagramm sieht man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. Es ergibt sich eine Gerade, deren Steigung der Beschleunigung a entspricht. Man erkennt, dass in gleichen Zeiten Δt die Geschwindigkeit um den gleichen Wert Δv zunimmt. In der linken Abbildung ist der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit der Zeit zu sehen. Der zurückgelegte Weg hängt jetzt quadratisch von der Zeit ab. Deshalb ist in zwei aufeinanderfolgenden Zeitfenstern der Länge Δt der zurückgelegte Weg nicht identisch. Der im ersten Zeitfenster Δt zurückgelegte Weg beträgt Δ s1 , während im nachfolgenden Zeitfenster der gleichen Dauer Δt ein größeres Wegstück Δ s2 zurückgelegt wird.
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Abbildung 550: Diagramme für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (C)


Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung können zwei Fälle unterschieden werden. Der Einfachheit halber nehmen wir bei unseren Überlegungen an, dass sich die Beschleunigung spontan von null auf den gewünschten Wert ändert. Dies entspricht zwar nicht der Realität, aber es erleichtert das Verständnis der Sachverhalte.

Fall 1
Der Körper wird aus der Ruhe heraus beschleunigt. Die Diagramme, die eine solche Bewegung kennzeichnen, sind identisch mit den obigen Diagrammen. Als v- t-Diagramm ergibt sich eine Ursprungsgerade mit Steigung a und als s- t-Diagramm erhält man eine Parabel durch den Ursprung.
Wird der Körper aus der Ruhe heraus beschleunigt, entspricht die Geschwindigkeitsänderung der erreichten Geschwindigkeit

v=a·t,

und für den zurückgelegten Weg gilt

s= 1 2 ·a· t2 .

Mit Hilfe dieser Formeln können nun aus zwei gegebenen (gemessenen) Größen die beiden anderen berechnet werden.
Beispiel 2.2.4  
Ein Auto fährt mit einer konstanten Beschleunigung von a=5m/ s2 an. Welche Geschwindigkeit v hat es nach t=4s erreicht und welchen Weg s hat es zurückgelegt?

Mit Hilfe der beiden Gleichungen kann die Lösung berechnet werden. Für die Geschwindigkeit v ergibt sich

v=a·t=5 m s2 ·4s=20 m s ,

und die zurückgelegte Wegstrecke s liegt bei

s= 1 2 ·a· t2 = 1 2 ·5 m s2 ·(4s )2 = 1 2 ·5 m s2 · 42 s2 =40m.

Hier muss beachtet werden, dass sowohl der Zahlenwert als auch die Einheit quadriert werden müssen.
Beispiel 2.2.5  
Aus dem Stand beschleunigt ein Auto t=10s lang und erreicht eine Geschwindigkeit von v=126km/h. Wie groß ist die Beschleunigung a und der zurückgelegte Weg s? Geben Sie die Ergebnisse in SI-Einheiten an. Zur Lösung des Problems muss zuerst die Geschwindigkeit in m/s angeben werden:

1 km h = 1000m 3600s = 1m 3,6s 126 km h = 126 3,6 m s =35 m s .

Für die Beschleunigung a formen wir die Gleichung für die Geschwindigkeit um und es ergibt sich

v=a·ta= v t = 35m/s 10s =3,5 m s2 .

Damit kann der Weg s berechnet werden:

s= 1 2 ·a· t2 = 1 2 ·3,5 m s2 ·(10s )2 =175m.

Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, dass die Einheiten umgerechnet werden. Die Umrechnung der Größen in SI-Einheiten macht man am besten zu Beginn der Rechnung.


Fall 2
Der Körper bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 und führt eine gleichförmige Bewegung aus. Zu Beginn der Beschleunigung hat der Körper dann schon eine Strecke s0 zurückgelegt und wird aus der Bewegung heraus beschleunigt. Jeder kennt diesen Fall aus dem täglichen Leben. Man fährt auf der Autobahn und möchte dann ein langsameres Fahrzeug überholen.

In der Abbildung ist so ein Vorgang schematisch dargestellt. Im Zeitraum vor t0 ergeben sich die gleichen Diagramme wie bei einer gleichförmigen Bewegung. Das Auto fährt konstant. Dann fängt der Überholvorgang an und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kommt zur gleichförmigen Bewegung hinzu.
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Abbildung 551: Diagramme für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit (C)



Um hier eine Aussage über die erreichte Geschwindigkeit oder den zurückgelegten Weg machen zu können, müssen die beiden bisher verwendeten Gleichungen etwas modifiziert werden. Der Einfachheit halber wird der Nullpunkt der Zeitrechnung auf den Wert t0 =0s gelegt. Der Körper bewegt sich schon mit einer Geschwindigkeit v0 . Jetzt kommt die Beschleunigung a hinzu und verursacht eine Änderung der Geschwindigkeit.
Es ergibt sich für die Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t> t0 ( t0 =0s):

v= v0 +a·t.

Für den zurückgelegten Weg muss ebenfalls beachtet werden, dass der Körper, bevor die Beschleunigung anfängt, schon eine Wegstrecke s0 hinter sich gebracht hat. Die Geschwindigkeit v0 behält der Körper bei und legt daher den Weg v0 ·t zurück. Die gleichzeitig wirkende gleichmäßige Beschleunigung führt außerdem zu einer Zunahme des zurückgelegten Weges gemäß s= 1 2 ·a· t2 .
Für die zu einem Zeitpunkt t> t0 ( t0 =0s) zurückgelegte Wegstrecke s erhält man:

s= 1 2 ·a· t2 + v0 ·t+ s0 .

Dabei bedeuten: 
  • s0 : der Punkt, an dem die Beschleunigung zum Zeitpunkt t0 =0s startet, bzw. der bereits zurückgelegte Weg.

  • v0 : die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper gleichförmig bewegt, bevor die Beschleunigung einsetzt. Diese muss auch während des Beschleunigungsvorganges berücksichtigt werden und trägt auch weiter zum zurückgelegten Weg bei.

  • 1 2 ·a· t2 : der durch die Beschleunigung zurückgelegte Weg.

Durch Umformen und Einsetzen können jetzt wieder mit Hilfe von bekannten Größen die anderen bisher unbekannten Größen ermittelt werden.
Beispiel 2.2.6  
Ein Auto fährt in der Stadt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0 =54km/h. Am Ortsende beschleunigt der Fahrer mit a=2m/ s2 , bis eine Geschwindigkeit von v=90km/h erreicht ist. Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang und welche Strecke s legt das Fahrzeug währenddessen zurück?

Als Erstes werden die gegebenen Größen in SI-Einheiten umgerechnet:

v0 =54 km h =54· 1000m 3600s =15 m s und v=90 km h =90· 1000m 3600s =25 m s .

Jetzt liegen alle Größen in SI-Einheiten vor und die Dauer der Beschleunigung kann bestimmt werden:

v=a·t+ v0 v- v0 =a·t v- v0 a =t t= 25m/s-15m/s 2m/ s2 =5s.

Im Anschluss wird die zweite Gleichung zur Berechnung des zurückgelegten Weges herangezogen. Da nur der Beschleunigungsvorgang von Interesse ist, kann für den Startpunkt s0 =0m gesetzt werden:

s= 1 2 ·a· t2 + v0 ·t+ s0 = 1 2 ·2 m s2 ·(5s )2 +15 m s ·5s+0m = 25m+75m+0m=100m.

Die ganzen Überlegungen und Formeln gelten so auch für Bewegungen, bei denen ein Körper abgebremst wird. Man spricht dann von einer Verzögerung, die sich von der Beschleunigung nur durch ein negatives Vorzeichen des Zahlenwertes unterscheidet.
Beispiel 2.2.7  
Der Fahrer aus obigem Beispiel muss eine Vollbremsung machen, da ein Reh 200m vor ihm auf die Fahrbahn springt. Wie groß muss die Verzögerung sein, damit das Fahrzeug direkt vor dem Tier zum Stehen kommt? Und wie lange dauert der Bremsvorgang?

Da das Auto hier zum Stillstand kommt, liegt die Endgeschwindigkeit bei v=0km/h und die Ausgangsgeschwindigkeit bei v0 =90km/h=25m/s. Der Bremsweg, der zur Verfügung steht, beträgt s=200m. Der Weg, der vor Beginn des Bremsvorganges zurückgelegt wurde, ist für die Fragestellung nicht von Bedeutung. Zur Lösung dieses Problems setzt man daher den Weg s0 =0m.
Die Schwierigkeit der Aufgabe liegt darin, dass die gesuchten Größen a und t jeweils in beiden Gleichungen vorkommen. Deshalb wird jetzt eine Gleichung nach einer der gesuchten Variablen aufgelöst:

v=a·t+ v0       v- v0 =a·t       v- v0 t =a       - v0 t =a.

Dieses Ergebnis wird jetzt in die zweite Gleichung eingesetzt:

s = 1 2 ·a· t2 + v0 ·t+ s0 = 1 2 · (- v0 ) t · t2 + v0 ·t = 1 2 ·(- v0 )·t+ v0 ·t= 1 2 · v0 ·t t = 2·s v0 = 2·200m 25m/s =16s.

Jetzt ist die für den Bremsvorgang benötigte Zeit bekannt, und mit diesem Ergebnis kann dann auch die Verzögerung berechnet werden:

a= - v0 t = -25 m s 16s =- 25m 16 s2 -1,56 m s2 .

Alternativ hätte man die Geschwindigkeitsgleichung auch erst nach der Zeit auflösen und diese dann in die Weggleichung einsetzen können.
Diese Beispiele zeigen, dass bei einer solchen Fragestellung immer bedacht werden muss, was die Anfangs- und die Endwerte sind. Hier ist die Endgeschwindigkeit aus dem ersten Beispiel gleich der Anfangsgeschwindigkeit im zweiten Beispiel. Die Rechnung zeigt, dass die Verzögerung einen negativen Wert besitzt. Das ist natürlich verständlich, da die Geschwindigkeit bei einem Bremsvorgang immer kleiner wird.

Unter dem folgenden Link finden Sie eine Animation, die Ihnen erlaubt, mit verschiedenenen Startwerten eine gleichförmige Bewegung, eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder einen Bremsvorgang zu simulieren:
 
Animation zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Aufgabe 2.2.8  
Unter welchen Bedingungen ist eine Bewegung gleichförmig?
 
In gleichen Zeiten werden gleiche Strecken zurückgelegt
Die Anfangsgeschwindigkeit ist null
Der Geschwindigkeitsbetrag ändert sich mit der Zeit
Die Bewegung findet nur in eine Richtung statt
 


Aufgabe 2.2.9  
Eine Schnecke kriecht im Durchschnitt mit einer Geschwindigkeit von 2mm/s durch die Welt. Wieviele Minuten braucht sie, um einen Salatkopf, der 0,0036km von ihr entfernt ist, zu erreichen?

t =




Aufgabe 2.2.10  
Das schnellste Landtier, der Gepard, erreicht eine Geschwindigkeit von bis zu 93km/h. Welche Strecke s legt er zurück, wenn er 12s lang sprintet?
 
s = 4018m
s = 1116m
s = 310m
s = 7,75m
 


Aufgabe 2.2.11  
Ein Motorradfahrer fährt 15s lang mit einer Geschwindigkeit von v1 =108km/h eine gerade Strecke entlang. Schlagartig ändert er seine Geschwindigkeit auf v2 =15m/s (in der realen Welt ist dies natürlich nicht möglich). Mit dieser Geschwindigkeit fährt er 25s weiter. Dann macht er eine Pause und bleibt für 42s stehen. Nach seiner Pause dreht er um und fährt mit einer Geschwindigkeit von v3 =90km/h an seinen Startpunkt zurück. Wie lange braucht er für die Rückfahrt?
 
t = 42s
t = 22s
t = 36s
t = 33s
 


Aufgabe 2.2.12  
Für ein Fahrzeug wurde das untenstehende Beschleunigungs-Zeit-Diagramm aufgenommen. Zum Zeitpunkt 0s und nach 20s ist das Fahrzeug in Ruhe. Welche Art von Bewegung führt das Fahrzeug in den drei Zeitabschnitten (Δ t1 ,Δ t2 ,Δ t3 ) aus? Interpretieren Sie das a(t)-Diagramm.
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Abbildung 552: Skizze (C)


Im Zeitfenster Δ t1 liegt eine vor.  
Im Zeitfenster Δ t2 liegt eine vor.  
Im Zeitfenster Δ t3 liegt eine vor



Aufgabe 2.2.13  
Für ein Fahrzeug wurde untenstehendes Beschleunigungs-Zeit-Diagramm aufgenommen. Zum Zeitpunkt 0s und nach 20s ist das Fahrzeug in Ruhe. Wie hoch ist die Höchstgeschwindigkeit v max des Fahrzeugs und die insgesamt zurückgelegte Wegstrecke s?
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Abbildung 554: Skizze (C)


v max =30m/s; s=405m
v max =30m/s; s=195m
v max =0m/s; das Fahrzeug legt keinen Weg zurück.
v max =3,0m/s; s=60m
 


Aufgabe 2.2.14  
Ein Auto wird aus dem Stand mit a=8m/ s2 beschleunigt. Welchen Weg s hat es nach 5s zurückgelegt? Geben Sie Ihre Lösung in m an.

s =




Aufgabe 2.2.15  
Ein Auto wird aus dem Stand für t=5s mit einer Beschleunigung von a=8m/ s2 beschleunigt. Welche Geschwindigkeit v erreicht es?
 
Ein Auto kann gar nicht so schnell beschleunigen.
v=20m/s
v=100m/s
v=40m/s
 


Aufgabe 2.2.16  
Ein Auto hat zum Zeitpunkt t=0s eine Geschwindigkeit von v0 =20m/s und wird dann gleichmäßig mit a=-5m/ s2 abgebremst. Nach wieviel Sekunden beträgt die Geschwindigkeit nur noch v=5m/s?

t =




Aufgabe 2.2.17  
Ein Körper beschleunigt aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Beschleunigung. Nach einer Strecke s=16m erreicht er eine Geschwindigkeit von v=8m/s. Wie lange braucht er für diesen Beschleunigungsvorgang?
 
t = 2s
t = 1s
t = 4s
t = 0,5s
 


Aufgabe 2.2.18  
Ein Körper beschleunigt aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Beschleunigung. Nach einer Strecke s=32m erreicht er eine Geschwindigkeit von v=8m/s. Wie groß ist die Beschleunigung a?
 
a = 2m/ s2
a = 0,5m/ s2
a = 4m/ s2
a = 1m/ s2
 


 

Massenpunkte (!)
Video 73: Massenpunkte (C) .

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Abbildung 555: Skizze (C)



In diesem Abschnitt werden die Bewegungen mit Hilfe sogenannter Massenpunkte beschrieben. Man versteht darunter eine Masse ohne Ausdehnung. Die gesamte Masse ist also in einem unendlich kleinen Massenpunkt konzentriert. In der Natur kennen wir nur ausgedehnte Körper (mit Ausnahme der Elementarteilchen, der kleinsten Bausteine der Materie). Man kann aber zeigen, dass die Bewegung eines ausgedehnten Körpers immer in die Bewegung seines Schwerpunkts und eine Drehung um diesen Schwerpunkt aufgeteilt werden kann. Die Definition des Schwerpunkts und die Beschreibung der Drehungen finden Sie in späteren Abschnitten. Es werden also zunächst die Bewegungsgesetze für die idealisierten Massenpunkte betrachtet. Später können wir sie dann direkt auf die Bewegung des Schwerpunkts ausgedehnter Objekte übertragen.  

Geschwindigkeit (!)


Video 74: Geschwindigkeit: Durchschnittsgeschwindigkeit (C) .



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Abbildung 556: Skizze (C)



Die Geschwindigkeit v (engl. velocity) ist die zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit. Ein Massenpunkt bewege sich vom Punkt 1 zum Punkt 2. Man berechnet dann die Geschwindigkeit als Quotient aus der zurückgelegten Strecke zwischen den beiden Punkten s2 - s1 und der dafür benötigten Zeit t2 - t1 :

v= s2 - s1 t2 - t1 = Δs Δt .

Dass hier das mathematische Differenzzeichen Δ auftritt, macht deutlich, dass bei der Bestimmung der Geschwindigkeit nicht die absoluten Ortskoordinaten und die absoluten Zeitpunkte relevant sind, sondern nur die relativen Entfernungen und die Zeitunterschiede. Im SI-System wird die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde m/s angegeben. Im Alltag benutzt man auch oft noch die Einheit km/h. Die Umrechung zwischen den beiden Größen ist im Abschnitt über physikalische Größen erläutert.

Video 75: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 76: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 77: Geschwindigkeit: Weg-Zeit-Diagramm (C) .

Oben wurde eine Durchschnittsgeschwindigkeit definiert. Dabei wird eine mittlere Geschwindigkeit für eine ausgewählte Zeitdauer und die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke bestimmt. Dies wird in der folgenden Skizze illustriert. Zwischen den beiden Punkten P1 und P2 wird der obige Quotient gebildet und als Steigungsdreieck dargestellt. Die berechnete Geschwindigkeit ist aber nicht die Geschwindigkeit an den Orten P1 oder P2 , sondern die mittlere Geschwindigkeit. Da die Streckenzunahme nicht proportional zur Zeit ist, ist die Geschwindigkeit am Anfang ( P1 ) höher und am Ende ( P2 ) niedriger als die Durchschnittsgeschwindigkeit.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Video 78: Geschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit (C) .



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Abbildung 557: Skizze (C)



Da die Geschwindigkeit in der Regel nicht konstant ist, ersetzt man den oben definierten Quotienten aus Orts- und Zeitdifferenzen durch die Ableitung der Ortsfunktion s(t) nach der Zeit. Dies nennt man die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t:

v(t)= limΔt0 Δs Δt = ds dt = d dt s(t)= s · (t).



Diese Definition der Momentangeschwindigkeit ist in der folgenden Skizze illustriert. An einem beliebigen Punkt der Ortsfunktion s(t) (blaue Kurve) kann die Ableitung s · (t) gebildet werden. Diese entspricht der Steigung der Ortsfunktion in diesem Punkt und ist als Steigungsdreieck eingezeichnet. Die Steigung ist die Momentangeschwindigkeit an diesem Punkt und gesondert als Wert aufgetragen (grünes Kreuz auf grüner Kurve). Bewegen Sie den Punkt P (blau) und machen Sie sich so die Bedeutung der Momentangeschwindigkeit klar. Die Geschwindigkeitsfunktion ist die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit. Der Wert der Geschwindigkeit kann auch negativ werden. In diesem Falle bewegt sich der Körper in umgekehrter Richtung.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Wenn nicht anders angegeben, versteht man unter dem Begriff Geschwindigkeit üblicherweise die Momentangeschwindigkeit eines Körpers.

Video 79: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 80: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 81: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 82: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .

Video 83: Geschwindigkeit: Beispiel (C) .



 

Beschleunigung (!)


Video 84: Beschleunigung: Definition Momentanbeschleunigung (C) .



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Abbildung 558: Skizze (C)



Ein Körper wird beschleunigt, wenn sich die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ändert. Daher wird die Beschleunigung a als Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion v(t) nach der Zeit definiert:

a(t)= dv dt = d dt v(t)= v · (t).

Die Beschleunigung ist also die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Damit ist sie aber auch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit:

a(t)= v · (t)= s ·· (t).

Die Einheit der Beschleunigung ist m/ s2 . Der Wert der Beschleunigung kann auch negativ werden. In diesem Falle nimmt die Geschwindigkeit ab, ein Körper mit positiver Geschwindigkeit wird z.B. gebremst.

Video 85: Beschleunigung: Definition Durchschnittsbeschleunigung (C) .

Auch bei der Beschleunigung kann man eine Durchschnittsbeschleunigung berechnen. Beispielsweise wird bei den technischen Daten von Autos häufig angegeben, wie lange sie benötigen, um aus der Ruhe auf eine Geschwindigkeit von 100 km/h zu beschleunigen. Hieraus ergibt sich eine mittlere Beschleunigung, obwohl das Auto zum Ende der Beschleunigungsphase weniger und während des Schaltens gar nicht beschleunigt wird. In vielen Fällen beschränken wir uns aber auf konstante Beschleunigungen. Damit sind Durchschnittsbeschleunigung und Momentanbeschleunigung gleich.

Video 86: Beschleunigung: Beispiel (C) .



In der folgenden Skizze kann man den Zusammenhang zwischen Weg s(t) (blau), Geschwindigkeit v(t) (grün) und Beschleunigung a(t) (rot) sehen. Die Geschwindigkeit ist die erste, die Beschleunigung die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit. Ziehen Sie den blauen Punkt über das Diagramm. Der Massenpunkt bewegt sich zunächst mit großer Geschwindigkeit v in positive s-Richtung. Diese Bewegung wird stetig abgebremst. Hierfür verantwortlich ist die konstant negative Beschleunigung a.

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Video 87: Beschleunigung: Beispiel (C) .



 

Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum (+)


Video 88: Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum (C) .



Bislang wurden nur eindimensionale Bewegungen betrachtet. In diesem Fall entspricht eine Beschleunigung der Zu- oder Abnahme der Geschwindigkeit (bei geeigneter Fallunterscheidung evtl. nur des Betrags) entlang einer vorgegebenen Richtung oder Kurve. In zwei oder drei Dimensionen kann jedoch auch die Richtung der Geschwindigkeit geändert werden, denn die Geschwindigkeit ist ja eine vektorielle Größe. Auch wenn die Bewegung eines Körpers seine Richtung ändert, spricht man daher von einer Beschleunigung, selbst wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant bleibt. Letzeres ist z.B. Bei Kreisbewegungen der Fall (siehe Abschnitt 2.5.1 über Kreisbewegungen).

Video 89: Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum: Durchschnittsgeschwindigkeit und -beschleunigung (C) .

Video 90: Geschwindigkeit und Beschleunigung im Raum: Momentangeschwindigkeit und -beschleunigung (C) .



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Abbildung 559: Skizze (C)



Um Bewegungen auch im dreidimensionalen Raum zu beschreiben, werden in den obigen Beziehungen die bekannten Variablen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Vektorgrößen dargestellt. Dabei wird aus der Ortsvariablen s(t) die Variable r (t), die den sogenannten Ortsvektor darstellt. Man erhält also:

a (t)= v · (t)= r ·· (t).



Unter der zeitlichen Ableitung eines Vektors V · (t) versteht man:

V · (t)= d dt V (t)= limΔt0 Δ V Δt .



In der folgenden Skizze wird verdeutlicht, dass der Vektor Δ V , und damit auch das Differential d V , nicht nur davon abhängt, wie sich der Betrag von V ändert. Entscheidend ist ebenso die Richtungsänderung von V im Zeitintervall Δt. Man beachte, dass Δ V und damit auch V · im Allgemeinen nicht in dieselbe Richtung wie V zeigen.

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Im folgenden Beispiel ist eine beliebige Bewegung eines Massenpunktes in der zweidimensionalen Ebene dargestellt. Stellen Sie sich z.B. die Bewegung eines Achterbahn-Wagens in einem Looping vor. Der Massenpunkt kommt von links mit einer hohen Geschwindigkeit. Auf der Loopingbahn wird der Massenpunkt zunächst langsamer (abgebremst), anschließend wieder schneller (beschleunigt) und ändert zudem permanent seine Bewegungsrichtung. Alle drei genannten Bewegungsänderungen stellen im physikalischen Sinne eine Beschleunigung des Massenpunktes dar. Das Abbremsen wird hierbei als negative Beschleunigung betrachtet.

In dieser recht komplexen Bewegungskurve ändern sich der Ortsvektor r (t), der Geschwindigkeitsvektor v (t) und der Beschleunigungsvektor a (t) kontinuierlich. Wie genau diese Änderungen erfolgen, soll hier nicht betrachtet werden. Das Beispiel soll aber illustrieren, dass die drei Vektoren durch die zeitliche Ableitung zwar zusammen hängen, aber dennoch sehr unterschiedliche funktionale Abhängigkeiten von der Zeit besitzen können, sowohl was den Betrag als auch was die Richtung der Größe betrifft. Spielen Sie die Animation ab und beobachten Sie, wie sich die Vektoren r (t), v (t) und a (t) zeitlich ändern.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)



Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81 m s2 .