2.4.1 Impulserhaltung

 

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Kraftstoß (+)


Video 151: Definition Kraftstoß (C) .



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Abbildung 902: Skizze (C)



Wirkt auf einen Körper eine Kraft F, so erfährt er die Beschleunigung

a= F m .

Der Körper habe die Anfangsgeschwindigkeit v0 . Dann erreicht er mit der konstanten Beschleunigung a während einer Zeitdauer t die Endgeschwindigkeit

v(t)=at+ v0 = F m t+ v0 .

Ist die Beschleunigung nicht konstant, ergibt sich

v(t)= 0 t a( t' )d t' + v0 = 1 m 0 t F( t' )d t' + v0 .



Das hierbei entscheidende Integral

t1 t2 F(t)dt, t1 < t2 ,

nennt man den Kraftstoß.


Video 152: Beispiel zum Kraftstoß (C) .



Beispiel 2.4.1  
Ein quaderförmiger Körper wird über einen Zeitraum von 5s mit einer konstanten Kraft F=400N angeschoben. Berechnen Sie den von der Kraft F bewirkten Kraftstoß.

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Abbildung 903: Skizze (C)





Video 153: Beispiel zum Kraftstoß (C) .



Beispiel 2.4.2  
Ein quaderförmiger Körper der Masse m=50kg wird mit einer konstanten Kraft F=200N über eine Strecke von Δs=2m reibungsfrei angeschoben, bevor er frei gleiten kann.

Berechnen Sie den durch die Kraft F bewirkten Kraftstoß.

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Abbildung 904: Skizze (C)





Video 154: Beispiel zum Kraftstoß (C) .



Beispiel 2.4.3  
Auf einen quaderförmigen Körper, der über einen reibungsfreien Untergrund gleitet, wirkt eine Kraft F mit

F=F(t)= F0 cos(πkt), F0 =250N,k= 1 20s

über einen Zeitraum von 10s. Berechnen Sie den Kraftstoß, der durch die Kraft F bewirkt wird.

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Abbildung 905: Skizze (C)





 

Impuls (!)


Video 155: Definition Impuls (C) .



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Abbildung 906: Skizze (C)



Der Impuls p eines Körpers ist als das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit definiert:

p =m  v .



Die Einheit des Impulses ist

1kg m s =1Ns.



Leitet man den Impuls nach der Zeit ab, geht dabei von einer konstanten Masse aus und nutzt schließlich das zweite newtonsche Axiom, ergibt sich:

dp dt = d dt (mv)=m dv dt =ma=F.



Die Integration dieser Gleichung liefert

t1 t2 F( t' )d t' = t1 t2 dp d t' d t' = p1 p2 dp= p2 - p1 =Δp.



Ein Kraftstoß, der auf einen Körper einwirkt, führt also unmittelbar zu einer Impulsänderung des Körpers. Aus dieser Gleichung folgt auch, dass Kraftstoß und Impuls die gleiche physikalische Einheit besitzen.


Video 156: Beispiel Impuls und Kraftstoß (C) .



Beispiel 2.4.4  
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Abbildung 907: Skizze (C)



Eine Raumsonde der Masse m R =500kg bewegt sich mit der Geschwindigkeit v R =40000m/s geradlinig durch den Weltraum. Ein Asteroid der Masse m A =2· 109 kg bewegt sich mit der Geschwindigleit v A =38000m/s entlang derselben Geraden.

  1. Berechnen Sie die Impulse p R und p A von Raumsonde und Asteroid.

  2. Um auf dem Asteroiden landen zu können, muss die Raumsonde abgebremst werden. Berechnen Sie den dazu nötigen Kraftstoß.





 

Bewegungsgesetz (!)


Video 157: Impuls und zweites newtonsches Axiom (C) .



Das zweite newtonsche Axiom kann nun auch mit Hilfe des Impulses ausgedrückt werden:

F =m  a =m  d v dt = d p dt .

Auch hier geht man wieder von einer konstanten Masse m aus.

Der gefundene Zusammenhang gilt jedoch auch für veränderliche Massen und ist somit allgemeingültig:

F = d p dt .

In dieser Formulierung des zweiten newtonschen Axioms muss nicht angenommen werden, dass die Masse m während der Bewegung konstant bleibt.

Ein bekanntes Beispiel, bei dem sich die Masse während des Beschleunigungsvorgangs ändert, ist die Rakete. Diese verliert durch den Ausstoß der Treibgase ständig an Masse. Ein anderes Beispiel sind Elementarteilchen in einem Beschleuniger. Hier werden diese oft bis in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt und erfahren dabei eine Massenzunahme entsprechend der Vorhersage der Relativitätstheorie. In solchen Fällen kann man die neue Formulierung der Bewegungsgleichung anwenden. Da nun neben der Geschwindigkeit auch die Masse als Funktion der Zeit betrachtet wird, muss für die Ableitung des Impulses nach der Zeit die Produktregel angewendet werden:

F = d p dt = d(m v ) dt = dm dt v +m d v dt .



Als Ergebnis erhält man eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung, in der sowohl die betrachtete Variable v als auch ihre Ableitung v · vorkommen. Mit Hilfe von weiterführenden mathematischen Methoden kann man sie lösen und so die Bewegung berechnen.

 

Impulserhaltung (!)


Video 158: Impulserhaltung (C) .



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Abbildung 908: Skizze (C)



Ein abgeschlossenes System im Sinne des Impulses ist ein System, bei dem auf die darin enthaltenen Körper keine Kräfte von außerhalb des Systems einwirken, sondern lediglich Kräfte zwischen den Körpern wirken. Betrachten wir zunächst ein System, das aus nur zwei Körpern besteht. Wegen des dritten newtonschen Axioms (Reaktionsprinzip) sind dort die Kräfte zwischen den beiden Körpern entgegengesetzt gleich:

F 12 =- F 21 .



Dies sind die einzigen Kräfte, die auf die beiden Körper wirken. Daher gilt:

d p 2 dt = - d p 1 dt d p 1 dt + d p 2 dt = 0 p 1 + p 2 = const .



Man kann zeigen, dass auch bei einem abgeschlossenen System, das aus mehr als zwei Körpern besteht, der Gesamtimpuls erhalten ist:

p = const .



Man sagt auch, der Impuls ist eine Konstante der Bewegung.


Video 159: Beispiel zur Impulserhaltung (C) .



Beispiel 2.4.5  
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Abbildung 909: Skizze (C)



Zwei Personen (jeweils der Masse m1 =75kg) stehen in einem ruhenden Boot der Masse m2 =150kg. Eine dritte Person der Masse m3 =50kg springt mit einer horizontalen Geschwindigkeit v A =2m/s auf das Boot.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B , mit der sich das Boot nach der Landung der dritten Person bewegt.



Video 160: Beispiel zur Impulserhaltung (C) .



Beispiel 2.4.6  
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Abbildung 910: Skizze (C)



Drei Personen (jeweils der Masse m1 =75kg) stehen in einem ruhenden Boot der Masse m2 =150kg. Eine der Personen springt mit einer horizontalen Geschwindigkeit v A =4m/s vom Boot ins Wasser.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B , mit der sich das Boot nach dem Absprung bewegt.





Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81 m s2 .