2.4.2 Stöße

 

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Stöße von Körpern
Video 161: Stöße von Körpern (C) .

Wenn wir im folgenden Abschnitt die Stöße zwischen Körpern untersuchen, interessiert uns nicht die Physik des Zusammenstoßes selbst. Statt dessen wird versucht, auf Grund von allgemein gültigen Regeln wie Impuls- und Energiehaltung die Stöße zu analysieren. Man unterscheidet elastische und inelastische Stöße. Im Fall von elastischen Stößen ist die kinetische Energie der Körper vor und nach dem Stoß gleich. Bei inelastischen Stößen wird ein Teil der kinetischen Energie in andere Energieformen, wie z.B. Wärmeenergie, umgewandelt. Die Körper haben nach dem Stoß also in Summe eine kleinere kinetische Energie als vor dem Stoß.

Im Folgenden beschränken wir uns zunächst auf Stöße zwischen zwei Körpern. Außerdem betrachten wir nur eindimensionale Stöße, also den Fall, wenn zwei Körper auf einer Linie aufeinander zulaufen, an einem Punkt zentral aufeinander stoßen und sich auf der gleichen Linie dann wieder voneinander fortbewegen.

 

Elastische Stöße
Video 162: Elastische Stöße: Impuls- und Energieerhaltung (C) .

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Abbildung 1455: Skizze (C)



Bei elastischen Stößen geht keine kinetische Energie verloren. Daher kann man neben dem Impulserhaltungssatz auch den Energieerhaltungssatz (also hier die Erhaltung der gesamten kinetischen Energie) ansetzen. Es gelten dann die folgenden beiden Beziehungen:

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1'+ m2 v2' (Impulserhaltung) , 1 2 m1 v1 2 + 1 2 m2 v2 2 = 1 2 m1 v1'2 + 1 2 m2 v2'2 (Energieerhaltung) .

Nehmen wir an, die Massen m1 und m2 der beiden Körper und ihre Geschwindigkeiten v1 und v2 vor dem Stoß seien bekannt. Hierbei gibt das Vorzeichen der Geschwindigkeit die Bewegungsrichtung des Körpers an (negativ = nach links, positiv = nach rechts). Nun kann man die Geschwindigkeiten nach dem Stoß bestimmen, indem man das Gleichungssystem auflöst. Dies ist möglich, da für die zwei Unbekannten v1' bzw. v2' zwei Gleichungen zur Verfügung stehen.


Video 163: Elastische Stöße: Berechnung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß (allgemein) (C) .



Video 164: Elastische Stöße: Beispiel zum Stoß zweier Körper mit gleicher Masse (C) .



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Abbildung 1456: Skizze (C)



Betrachten wir nun den Fall, in dem zwei Körper mit gleicher Masse ( m1 = m2 ) aufeinander stoßen. Einer der beiden Körper soll sich vor dem Stoß in Ruhe befinden ( v2 =0). Der andere Körper hat vor dem Stoß die Geschwindigkeit v1 . Wir fragen uns nun, welche Geschwindigkeiten die beiden Körper nach dem Stoß besitzen. Das obige Gleichungssystem vereinfacht sich folgendermaßen:

v1 = v1'+v2', v1 2 = v1'2 + v2'2 .

Quadriert man die erste Gleichung, so werden die linken Seiten der beiden Gleichungen identisch. Man kann also auch die rechten Seiten gleichsetzen und erhält schließlich

2 v1'v2'=0.

Dies bedeutet, dass mindestens eine der beiden Geschwindigkeiten nach dem Stoß null sein muss. Beide Körper können nach dem Stoß nicht ruhen, da es sich um einen elastischen Stoß handelt und daher die kinetische Energie nicht verschwinden kann. D.h. nach dem Stoß bewegt sich einer der beiden Körper, der andere ruht. Da sich die Körper beim Stoß nicht einfach durchdringen können, wird sich nach dem Stoß der vorher ruhende bewegen, während der sich vorher bewegende dann ruht. Der vorher ruhende Körper übernimmt dabei genau die Geschwingkeit des einlaufenden Körpers. Damit bleiben der Impuls und die kinetische Energie erhalten.

Eine ausführlichere Herleitung für die Berechnung des elastischen Stoßes findet sich im folgenden Video. Das Video zeigt die Herleitung anhand des Beispiels zweier stoßender Billardkugeln.
Man kann sich dieses Ergebnis auch mit Hilfe einer Skizze veranschaulichen. In der folgenden Skizze sind zwei Körper mit gleicher Masse gezeigt, die gerade aneinander stoßen. Die Geschwindigkeit der einlaufenden Körper sind als blaue Vektoren, die der auslaufenden Körper nach dem Stoß als rote Vektoren gekennzeichnet. Es wird nun zunächst der Fall betrachtet, in dem sich beide Körper mit gleicher Geschwindigkeit aufeinander zu bewegen. Aus Symmetriegründen werden sich dann die Körper nach dem Stoß mit den gleichen Geschwindigkeiten wieder auseinander bewegen. Der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß ist null und die Gesamtenergie bleibt erhalten, weil beide Körper (dem Betrage nach) ihre Geschwindigkeiten beibehalten.

Nun kann in der Skizze die Geschwindigkeit des Systems, in dem der Stoß symmetrisch stattfindet, bezüglich des Beobachters verändert werden. Ziehen Sie hierzu am blauen Punkt nach links und geben Sie damit dem System eine Geschwindigkeit nach links, bis die Anfangsgeschwindigkeit von Körper 2 null ist ( v2 =0). Sie setzen sich als Beobachter sozusagen in das Ruhesystem des Körpers 2. Gleichzeitig verdoppelt sich die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers 1. Interessant ist nun zu beobachten, was mit den Geschwindigkeiten nach dem Stoß passiert. Die Endgeschwindigkeit des Körpers 2 verdoppelt sich gegenüber dem symmetrischen Fall. Die Endgeschwindigkeit von Körper 1 wird null ( v1'=0). Dies war genau das Ergebnis der obigen Rechnung.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Man kann das Ergebnis mit Hilfe von zwei identischen Münzen leicht selbst verifizieren.
Interessanterweise erhält man das gleiche Ergebnis, wenn der einlaufende Körper auf eine Reihe mehrerer hintereinander liegender identischer Körper auftrifft. Nach dem Stoß ruht dann der einlaufende Körper, während der letzte Körper in der Reihe den gesamten Impuls des einlaufenden Körpers aufnimmt. Er hat daher nach dem Stoß dieselbe Geschwindigkeit wie der einlaufende Körper vor dem Stoß. Zeigen kann man dies an einem beliebten physikalischen Spielzeug, dem Kugelstoßpendel (auch „Newton-Wiege“):

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Abbildung 1457: Kugelpendel (C)

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Abbildung 1458: Aus der Beschreibung durch Edme Mariotte, 1673 (C)



Man kann sich dieses Phänomen als das Aufeinanderfolgen einzelner elastischer Stöße zwischen zwei benachbarten Kugeln vorstellen. Der Impuls wird gewissermaßen „durchgereicht“. Lediglich die letzte Kugel kann den Impuls übernehmen und wird daher die Geschwindigkeit annehmen, die die einlaufende Kugel vor dem Stoß hatte.

Auch diesen Effekt können Sie schnell an einem kleinen Experiment mit Münzen selbst überprüfen:
Video 168: Elastische Stöße: Beispiel (C) .

Video 169: Elastische Stöße: Beispiel (C) .



Abschließend noch ein kleines Experiment mit Münzen, bei dem der Stoß nicht zentral, sondern exzentrisch erfolgt:
 

Inelastische Stöße
Video 171: Inelastische Stöße (C) .

Im Fall von inelastischen Stößen bleibt die kinetische Energie des Anfangszustands nicht erhalten. Daher können wir nur noch den Impulserhaltungssatz verwenden.

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Abbildung 1459: Skizze (C)



Betrachten wir nun wieder den Fall von oben, bei dem zwei Körper mit der gleichen Masse ( m1 = m2 ), von denen einer vor dem Stoß ruht ( v2 =0), aufeinander stoßen. Der andere Körper hat vor dem Stoß die Geschwindigkeit v1 . Es findet nun ein Spezialfall eines inelastischen Stoßes statt. Bei diesem bleiben die beiden Körper nach dem Stoß miteinander verbunden. Daher bewegen sie sich nach dem Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit v1'=v2'= v' .
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Abbildung 1460: Skizze (C)



Sie können sich als Alltagsbeispiel auch ein Kind vorstellen, das mit einer Geschwindigkeit v= v1 auf einen ruhenden Schlitten springt.

Aus der Impulserhaltung erhält man

v1 =v1'+v2'= v' + v' v' = 1 2 v1 .

Die beiden Körper bilden also nach dem Stoß einen einzigen zusammenhängenden Körper mit der Gesamtmasse m= m1 + m2 , der sich mit der Hälfte der Geschwindigkeit weiterbewegt, die der einlaufende Körper vor dem Stoß besaß. Indem man die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß vergleicht, kann man die Energie berechnen, die bei dem Stoß in Wärmeenergie umgewandelt wurde:

Q=Δ E kin = 1 2 m v1 2 - 1 2 2m ( v1 2 )2 = 1 4 m v1 2 .

Die kinetische Energie des Anfangszustand wird also zur Hälfte in Wärme umgewandelt.

Video 172: Inelastische Stöße: Beispiel (C) .

Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81 m s2 .