2.5.2 Bewegungsgesetz der Rotation und Drehimpulserhaltung

 

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Zu diesem Abschnitt gibt es leider noch kein Basiswissen.

Dieses Thema wird in der Schule meist nicht behandelt. Die folgende kurze Zusammenfassung kann aber dennoch eine nützliche Vorbereitung auf die Behandlung des Themas im Studium darstellen. 
 


 

Bewegungsgesetz der Rotation (*)


Das Bewegungsgesetz der Rotation kann man herleiten, indem man das Bewegungsgesetz des 2. Newtonschen Axioms von links vektoriell mit r mulipliziert:

F = d p dt r × F = r × d p dt .

Bei der Ableitung eines Vektorprodukts wendet man wie bei einem normalen Produkt zweier Funktionen die Produktregel an:

d dt ( r × p )= d r dt × p + r × d p dt = v ×m v + r × d p dt = r × d p dt ,

weil v × v =0. D.h. obiges Bewegungsgesetz kann auch geschrieben werden als

r × F = d dt ( r × p ).

 

Nun führt man zwei neue physikalische Variablen ein, 
das Drehmoment M :

M = r × F

und den Drehimpuls L :

L = r × p .

Damit erhält man als Bewegungsgesetz der Rotation:

M = d L dt .



 

Drehmoment


Der Vektor des Drehmoments M steht senkrecht auf den beiden Vektoren r und F . Für die Orientierung gilt die Rechte-Hand-Regel:  

././Physikkurs/drehbewegung_gesetzedrehimpuls/images/MFILE3xRechte-Hand-Regel-2.png
Abbildung 1585: Rechte-Hand-Regel (C)




Den Betrag des Drehmoments erhält man wie folgt:

M=rFsinφ,

wobei φ der Winkel zwischen den beiden Vektoren r und F ist.

Die Einheit des Drehmoments ist das Newtonmeter:

1Nm=1 kg m2 s2    (1J ! ).

Das Newtonmeter ist zwar das gleiche Produkt aus SI-Basiseinheiten wie das Joule. Es handelt sich bei dem Drehmoment und der Energie jedoch um völlig unterschiedliche physikalische Größen. Daher darf man das Drehmoment natürlich nicht in Einheiten von Joule angeben.

In der folgenden Skizze wird die Bildung des Drehmoments veranschaulicht. Die beiden Vektoren r und F liegen in der (x,y)-Ebene. Diese Ebene ist in der oberen Hälfte der Skizze gezeigt. Darunter dargestellt ist die (z,y)-Ebene, wobei man in Richtung der x-Achse schaut. Das erzeugte Drehmoment M steht senkrecht auf r und F und damit parallel zur z-Achse. 
Verändern Sie den Kraftvektor F bzw. den Ortsvektor r und beobachten Sie, wie sich das Drehmoment M ändert. Wann zeigt M in, wann entgegen der z-Richtung? Wann verschwindet das Drehmoment?  

././Physikkurs/drehbewegung_gesetzedrehimpuls/images/geogebra_drehbewegung_standbild3.png
Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

In obiger Skizze ist zusätzlich noch die Komponente r des Ortsvektors r senkrecht zur angreifenden Kraft F gestrichelt eingezeichnet. Die Länge dieser Komponente beträgt:

r =rsinφ.

Damit kann das Drehmoment auch berechnet werden als

M= r F.

Die Strecke r ist der kleinste Abstand, der sich zwischen der der Drehachse und einer Geraden, die durch den Angriffspunkt der Kraft in Kraftrichtung verläuft. Dieser Abstand wird auch als effektiver Hebelarm bezeichnet.

 

Drehimpuls (*)


Ganz allgemein ist für Massenpunkte m, die sich am Ort r mit der Geschwindigkeit v bewegen, der Drehimpuls definiert als:

L= r × p =m r × v



Die häufigste Anwendung ist jedoch der Fall, bei dem der Massenpunkt eine Kreisbewegung ausführt und man den Drehimpuls bezüglich des Kreismittelpunkt berechnen will. Hier stehen Geschwindigkeitsvektor v und Ortsvektor r senkrecht aufeinander und die Formel für den Betrag des Drehimpulses wird relativ einfach:

L=mrv.



Ebenso wie der Impuls bleibt auch der Drehimpuls L von abgeschlossenen Systemen erhalten. Es gilt der Drehimpulserhaltungssatz:

L = const .

Man sagt dann auch, der Drehimpuls ist eine Konstante der Bewegung.  



Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81 m s2 .