2.5.3 Drehbewegungen ausgedehnter Körper

 

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Dieses Thema wird in der Schule meist nicht behandelt. Die folgende kurze Zusammenfassung kann aber dennoch eine nützliche Vorbereitung auf die Behandlung des Themas im Studium darstellen.

Bei den Kreisbewegungen wurde die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn untersucht. Nun stellt man sich vor, dass ein ausgedehnter Körper aus vielen Massenpunkten zusammengesetzt ist. Damit besteht seine Drehbewegung aus vielen Kreisbewegungen der einzelnen Massenpunkte.

 

Schwerpunkt (*)


Man stelle sich modellhaft vor, ein ausgedehnter Körper sei aus vielen einzelnen Massenpunkten mi zusammengesetzt. Jeder dieser Massenpunkte hat eine individuelle Position innerhalb des Körpers, die man mit Hilfe eines Ortsvektors r in einem kartesischen Koordinatensystem beschreiben kann.

Sucht man unabhängig von der Masse der einzelnen Massenpunkte den geometrischen Mittelpunkt des ausgedehnten Körpers, so kann man ihn als Mittelwert aller Ortsvektoren betrachten, d.h. man addiert alle Ortsvektoren und dividiert die Summe durch die Anzahl n der Vektoren:

r M = r 1 + r 2 ++ r n n = 1 n i=1 n r i .



Nun können aber die einzelnen Punkte verschiedene Massen haben. Dann ist der räumliche Mittelpunkt nicht unbedingt gleich dem Mittelpunkt der Massenverteilung. Um dies zu berücksichtigen, multipliziert man jeden Ortsvektor mit der dazugehörigen Masse mi , führt anschließend die Summation durch und dividiert durch die Gesamtmasse m ges . So erhält man ein mit der Massenverteilung gewichtetes Mittel der Ortsvektoren, den sogenannten Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt:

r S = m1 r 1 + m2 r 2 ++ mn r n m1 + m2 ++ mn = i=1 n mi r i i=1 n mi = 1 m ges i=1 n mi r i

mit m ges = i mi , der Gesamtmasse des ausgedehnten Körpers.


Anschaulich betrachtet ist der Schwerpunkt derjenige Punkt eines ausgedehnten Körpers, an dem die als homogen betrachtete Schwerkraft angreift. Unterstützt man den Körper in einem homogenen Schwerefeld genau in seinem Schwerpunkt, so befindet sich der Körper im Gleichgewicht und kippt nicht. Auch für die allgemeine Betrachtung von Bewegungen ausgedehnter Körper spielt der Schwerpunkt eine wichtige Rolle, denn Bewegungen können in besonders einfacher Weise als Kombination einer Translationsbewegung des Körperschwerpunkts und einer Rotationsbewegung des Körpers um diesen Schwerpunkt dargestellt werden.

Beispiel 2.5.17  
Zwei Kinder möchten so auf einer Wippe sitzen, dass sie ausbalanciert ist. Eines der Kinder ist doppelt so schwer wie das andere. Wo muss der Drehpunkt der Wippe liegen? Die Länge der Wippe sei 3m, die Masse der Wippe sei zu vernachlässigen.

Wenn das schwerere Kind mit Masse 2m einen halb so großen Abstand vom Drehpunkt hat wie das leichtere Kind mit Masse m, ist die Wippe im Gleichgewicht. Für das Berechnen des Schwerpunktes sucht man sich eine geschickte Lage des gedachten kartesischen Koordinatensystems. Legt man den Koordinatenursprung z.B. in das schwerere der beiden Kinder, lässt sich die Lage des Schwerpunkts lS leicht berechnen:

lS = 2m·0+m·3m 2m+m = m·3m m·3 =1m.

Dies ist der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem Schwerpunkt, hier also der Abstand zwischen dem schwereren Kind und dem Schwerpunkt.


 

Rotationsenergie (*)


Bewegt sich ein Körper, so hat er kinetische Energie. Die Berechnung der kinetischen Energie bei Parallelverschiebungen (auch Translation genannt), wovon geradlinige Bewegungen eine Teilmenge bilden, kennen wir bereits:

E kin,trans = 1 2 m v2 .

Bei Drehbewegungen kommt ein zusätzlicher Anteil an kinetischer Energie zum Tragen, die sogenannte Rotationsenergie E kin,rot . Die gesamte kinetische Energie setzt sich also zusammen aus einem Anteil der Translationsenergie und einem Anteil der Rotationsenergie. In aller Regel verwendet man die verkürzten Schreibweisen E trans und E rot und bezeichnet die gesamte kinetische Energie als E kin . Dann gilt:

E kin = E trans + E rot = 1 2 m v2 + E rot .



Hinweis: In der Literatur wird das Symbol E kin unterschiedlich verwendet. Teilweise steht E kin wie in der obigen Gleichung für die gesamte kinetische Energie einschließlich der Rotationsenergie. Manchmal steht das Symbol jedoch auch direkt für die Translationsenergie, d.h. anstelle von E trans . Als Leser muss man also genau hinschauen, was im konkreten Fall mit E kin gemeint ist!

Nach Aufteilung der Bewegung eines Körpers in eine Translations- und eine Rotationsbewegung gibt die Rotationsenergie also den Teil der kinetischen Energie eines Körpers an, der aus der Drehung um seinen Schwerpunkt resultiert. Jeder Massenpunkt des Körpers trägt zu dieser Energie bei.
Aufgrund einer Drehbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ω besitzt der Massenpunkt i die Geschwindigkeit vi :

vi =ω ri ,

wobei ri die Abstände der Massenpunkte von der Drehachse sind. Die gesamte Rotationsenergie erhält man, wenn man die kinetischen Energien der Massenpunkte summiert:

E rot = i 1 2 mi vi 2 = i 1 2 mi ω2 ri 2 = 1 2 ( i mi ri 2 ) ω2 .

Offenbar trägt der Massenpunkt umso mehr zur Rotationsenergie bei, je größer sein Abstand zur Drehachse ist.

Beispiel 2.5.18  
Wir betrachten den Unterschied zwischen Hohlzylindern, bei denen die Massenpunkte gleichmäßig auf dem Zylindermantel liegen, und Vollzylindern, bei denen die Massenpunkte homogen im Volumen des Zylinders verteilt sind. Bei identischer Masse und gleicher Rotationsgeschwindigkeit besitzen deshalb Hohlzylinder eine größere Rotationsenergie als Vollzylinder. Denn beim Hohlzylinder haben alle Massenpunkte den Zylinderradius r als Abstand zur Drehachse, während beim Vollzylinder die Abstände kleiner oder gleich sind. Dies ist auch der Grund, warum Vollzylinder schneller eine schiefe Ebene herunterrollen als Hohlzylinder. Wird beim Herabrollen potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt, so führt dies beim Vollzylinder zu einer größeren Rotationsgeschwindigkeit als beim Hohlzylinder.


 

Trägheitsmoment (*)


Für die in der Berechnung von E rot auftretende Summe führt man eine eigene physikalische Größe, das Trägheitsmoment I, ein:

I= i mi ri 2 .

Die Rotationsenergie ist dann durch folgende einfach Formel gegeben:

E rot = 1 2 I ω2 .



Die Formel weist eine Analogie zur kinetischen Energie der Translation auf. Das Trägheitsmoment I entspricht der Masse m und die Winkelgeschwindigkeit ω der Geschwindigkeit v. Das Trägheitsmoment übernimmt bei Rotationsbewegungen also eine Funktion, die vergleichbar ist zur Bedeutung der trägen Masse in der Translationsbewegung. Das Trägheitsmoment beinhaltet die zusätzliche Information, welchen Abstand die Massenelemente zur Drehachse haben.

Trotz der Analogie von Masse und Trägheitsmoment gibt es auch wichtige Unterschiede dieser beiden Größen. Während ein Körper bei der Translation unabhängig von seiner Bewegungsrichtung eine eindeutige Masse m besitzt, die ohne äußere Einwirkung nicht verändert wird, kann das das Trägheitsmoment I für ein und denselben Körper verschiedene typische Werte annehmen. Entscheidend ist hierbei die Position der gewählten Drehachse. Betrachtet man z.B. einen langen dünnen Stab, so ist dessen Trägheitsmoment bei einer Drehung um eine Achse, die zentral durch die Stabmitte entlang des Stabes verläuft, viel kleiner als bei einer Drehung um eine Achse senkrecht zum Stab.

 

Drehimpuls (*)


Das Trägheitsmoment wird auch benutzt, um den Drehimpuls ausgedehnter Körper zu berechnen. Als Drehimpuls Li eines Massenpunktes mi , der mit dem Abstand ri um eine Drehachse kreist, ergibt sich

Li = mi vi ri .



Der Gesamtdrehimpuls eines ausgedehnten Körpers ergibt sich dann aus der Summe über die einzelnen Drehimpulse:

L= i mi vi ri = i mi ωi ri 2 = i mi ri 2 ω=Iω.



Die Beziehung ωi =ω folgt aus der Tatsache, dass alle Massenpunkte des Körpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit bezüglich der Drehachse besitzen. So wie der Impuls, so ist auch der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Dadurch entstehen einige interessante Phänomene. Diese werden in der Physik der Kreiselbewegungen erklärt, auf die wir aber nicht eingehen wollen.

Beispiel 2.5.19  
Bei den Piruetten von Eiskunstläufern kann die Drehimpulserhaltung gut beobachtet werden. Wenn Eiskunstläufer eine Piruette ansetzen, bringen sie sich durch eine Kurvenbahn langsam in Drehung. Dabei halten Sie Arme und Beine mit relativ großem Abstand zur Körperachse. Diese anfängliche Drehung können sie nun extrem verstärken, indem sie Arme und Beine zur Körperachse heranziehen. Dadurch reduzieren sie das Trägheitsmoment ihres Körpers, weil die Massenpunkte nun im Mittel näher zur Drehachse liegen. Wegen der Drehimpulserhaltung muss das reduzierte Trägheitsmoment durch eine vergrößerte Rotationsgeschwindigkeit kompensiert werden.


 

Bewegungsgesetz ausgedehnter Körper (*)


Das allgemein formulierte Bewegungsgesetz der Rotation

M = d L dt

kann auf den Fall des ausgedehnten Körpers angewendet werden. Hierbei beschleunigt oder bremst ein äußeres Drehmoment die Drehung um eine Achse. Dann steht das Drehmoment parallel zum Drehimpuls und man erhält:

M= d dt L= d dt (Iω)=I dω dt .



 

Vergleich zwischen Translation und Rotation (*)


Die folgende Tabelle stellt die Größen und Gleichungen für die Translationsbewegung von Massenpunkten den Größen und Beziehungen vergleichend gegenüber, die die Rotationsbewegung ausgedehnter Körpern bestimmen.  

 Translation    Rotation   
 Weg   s   Drehwinkel   φ 
 Geschwindigkeit   v   Winkelgeschwindigkeit   ω 
 Beschleunigung   a   Winkelbeschleunigung   α 
 Masse   m  Trägheitsmoment   I 
 Kinetische Energie   E kin = 1 2 m v2   Rotationsenergie   E rot = 1 2 I ω2  
 Impuls   p =m v   Drehimpuls   L =I ω  
 Kraft   F =m a   Drehmoment   M =I α  




Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81 m s2 .