3.3.5 Wechselstromwiderstände

 

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Video 265: Ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis (C) .

 

Ohm'scher Widerstand (*)


Wird an einen rein Ohm'schen Widerstand R eine Wechselspannung

U(t)= U0 sinωt

angelegt, so erzeugt dies einen Strom

I(t)= U(t) R = U0 R  sinωt= I0 sinωt,

der sich phasengleich mit der angelegten Spannung ändert. Für die Beziehung zwischen Strom und Spannung gilt weiterhin das Ohm'sche Gesetz (sowohl für die Effektivwerte als auch für die Amplituden). Der Wechselstromwiderstand Z (Impedanz) ist also gleich dem Widerstand, der im Fall des Gleichstroms gilt:

ZR = U eff I eff = U0 I0 =R.

Video 266: Kondensator im Wechselstromkreis (C) .

 

Kapazitiver Widerstand (Kondensator) (*)


Legt man an einem Kondensator die Wechselspannung U(t)= U0 sinωt an, so ergibt sich der Strom als die zeitliche Ableitung der Ladung auf dem Kondensator:

I= Q · = d dt (CU)=C d dt  ( U0 sinωt)=Cω  U0 cosωt.

Es ergibt sich ebenfalls eine sinusförmige Schwingung, allerdings um π/2 phasenverschoben:

I(t)=ωC  U0 cosωt= I0 sin(ωt+ π 2 ).

Der Strom läuft der Spannung um π/2 voraus.  

Das Verhältnis zwischen Effektivspannung U eff und Effektivstrom I eff ist das gleiche wie zwischen der Spannungsamplitude U0 und der Stromamplitude I0 . Es wird als kapazitiver Blindwiderstand XC bezeichnet. Damit wird der Wechselstromwiderstand des Kondensators

ZC = U eff I eff = U0 I0 = 1 ωC = XC .

Der Blindwiderstand des Kondensators ist umgekehrt proportional zur Frequenz. Er sinkt also bei steigender Frequenz und umgekehrt.  

Video 267: Spule im Wechselstromkreis (C) .

 

Induktiver Widerstand (Spule) (*)


Wird an eine Spule eine Spannung U(t)= U0 sinωt angelegt, so stellt sich in ihr ein Strom I(t) ein, so dass die Selbstinduktionsspannung U ind (t) gerade die äußere Spannung U(t) aufhebt:

U(t)= U0 sinωt=- U ind (t)=L I · =L d dt  (I(t)).

Ein Strom mit der zeitlichen Abhängigkeit

I(t)= I0 sin(ωt- π 2 )= I0 (-cosωt)= U0 ωL  (-cosωt)

erfüllt die obige Bedingung, wie man leicht durch Ableiten zeigen kann. Der Strom läuft der Spannung um π/2 hinterher.  

Auch hier ist das Verhältnis zwischen Effektivspannung und Effektivstrom das gleiche wie zwischen der Spannungsamplitude und der Stromamplitude. Dieses wird als induktiver Blindwiderstand XL bezeichnet:

ZL = U eff I eff = U0 I0 =ωL= XL .

Der Blindwiderstand der Spule ist proportional zur Frequenz.

 

Zeigerdiagramme (*)


Bei der Berechnung von Wechselstromschaltungen werden zur Erklärung sogenannte Zeigerdiagramme verwendet. Dabei stellen rotierende Zeiger die Spannung und Stromstärke dar. Die x-Komponente der Zeiger wird jeweils in Abhängigkeit der Zeit in ein U- t- bzw. I- t-Diagramm eingetragen. In der folgenden Animation ist ein solches Zeigerdiagramm zu sehen. Über den Schieberegler kann die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung eingestellt werden. Dabei bedeutet eine Phasenverschiebung von +90 , dass der Strom der Spannung um eine Viertelperiode vorauseilt.  

././Physikkurs/stromkreiseelemente_wechselstromwiderstand/images/geogebra_stromkreiselemente_standbild1.png
Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Video 268: Blindleistung im Wechselstromkreis (C) .

 

Elektrische Leistung (*)


Eine Wechselspannung U(t)= U0 sinωt erzeugt an einem Ohm'schen Widerstand einen gleichphasigen Wechselstrom I(t)= I0 sinωt. Die am Ohm'schen Widerstand verbrauchte elektrische Leistung ist

PR (t)=U(t)I(t)= U0 I0   sin2 ωt.

Der zeitliche Mittelwert ist

P= U0 I0 2 = U eff I eff .

Man nennt dies auch die Wirkleistung.  

Eine Wechselspannung U(t)= U0 sinωt erzeugt an einem Kondensator den Wechselstrom I(t)= I0 sin(ωt+ π 2 ). Berechnet man das Produkt aus Momentspannung U(t) und Momentstrom I(t), so erhält man

PC (t)=U(t)I(t)= U0 I0 sinωtcosωt= U0 I0 2  sin2ωt.

Der zeitliche Mittelwert dieser Funktion verschwindet, da die Sinus-Funktion um null oszilliert. Dies bedeutet, die Wirkleistung P ist null. Man führt die Blindleistung Q des Kondensators ein:

Q= U0 I0 2 = U eff I eff .

Legt man eine Wechselspannung an einen Kondensator an, so nimmt er Energie während einer Viertelperiode auf und gibt sie in der darauf folgenden wieder ab. Es wird also netto keine elektrische Energie verbraucht. Ein idealer Kondensator hat daher keine Wirkleistung, sondern nur eine Blindleistung.  

Auch bei einer Spule liegt eine Phasenverschiebung von π/2 zwischen Spannung und Strom vor. Im Zeigerdiagramm stehen Spannung und Strom senkrecht aufeinander. Die ideale Spule (mit verschwindendem Ohm'schen Widerstand) hat also auch keine Wirkleistung und besitzt ebenfalls die Blindleistung

Q= U eff I eff .

Eine reale Spule kann als Hintereinanderschaltung einer idealen Spule und eines Ohm'schen Widerstands angesehen werden. Für das gesamte Bauteil ergibt sich dann eine Phasendifferenz von Spannung und Strom, die zwischen den Werten -π/2 (ideale Spule) und 0 (rein Ohm'scher Widerstand) liegt. Als Wirkleistung ergibt sich bei einer Phasendifferenz von Δφ:

P= U eff I eff cosΔφ.

 

Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen (*)


Video 269: Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen (C) .

In folgender Skizze sind ein Ohm'scher Widerstand, eine Spule und ein Kondensator in Reihe geschaltet und an eine äußere Wechselspannungsquelle angeschlossen.  

././Physikkurs/stromkreiseelemente_wechselstromwiderstand/images/MFILE5xReihenschaltung-RLC_neu.png
 

Gemäß der Knotenregel ist der Strom in allen Bauelementen gleich und zwar zu jedem Zeitpunkt. Es gilt also:

I(t)= IR (t)= IL (t)= IC (t).

Auf Grund der Maschenregel ist die von außen anliegende Wechselspannung U0 (t) entgegengesetzt gleich der Summe U G (t) der Einzelspannungen an den Bauelementen:

U G (t)= UR (t)+ UL (t)+ UC (t).

Nun muss man noch berücksichtigen, dass nur beim Ohm'schen Widerstand die Spannung UR (t) gleichphasig zum Strom I(t) liegt. Dem gegenüber läuft die Spannung an der Spule UL (t) dem Strom um π/2 voraus, während die Spannung am Kondensator UC (t) dem Strom um π/2 hinterher läuft. Dies ist im Zeigerdiagramm der folgenden Skizze veranschaulicht.  

././Physikkurs/stromkreiseelemente_wechselstromwiderstand/images/geogebra_stromkreiselemente_standbild2.png
Abbildung 1769: Skizze (C)




Die obige Skizze zeigt eine Momentaufnahme eines Zeigerdiagramms. Durch vektorielle Addition der Spannungszeiger kann die Amplitude der Gesamtspannung berechnet werden. Man erhält für die gesamte Spannungsamplitude U G :

U G =( UL - UC )2 + UR 2 .

Für die Impedanz der Gesamtschaltung erhält man dann:

Z = U G I = ( UL I - UC I )2 + ( UR I )2 = (ωL- 1 ωC )2 + R2 = ( ZL - ZC )2 + R2 .

Die Phasendifferenz φ ergibt sich mit:

tanφ= ωL- 1 ωC R = ZL - ZC R .

 

Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen (*)


Video 270: Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen (C) .

In der folgenden Skizze sind ein Ohm'scher Widerstand, eine Spule und ein Kondensator parallel zu einer äußeren Wechselspannungsquelle geschaltet.  

././Physikkurs/stromkreiseelemente_wechselstromwiderstand/images/MFILE5xParallelschaltung-RLC_neu.png
 

Nun fällt hier über alle drei Bauteile zu jedem Zeitpunkt die gleiche Spannung U(t) ab, die gleich der von außen angelegten Spannung U0 ist:

U(t)= UR (t)= UL (t)= UC (t).

Gemäß der Knotenregel addieren sich die Ströme durch die einzelnen Bauteile zum Gesamtstrom I G (t):

I G (t)= IR (t)+ IL (t)+ IC (t).

Nun muss man wieder berücksichtigen, dass die verschiedenen Ströme IR (t), IL (t) und IC (t) eine unterschiedliche Phasendifferenz zur Momentspannung U(t) besitzen. Dies ist im Zeigerdiagramm der folgenden Skizze veranschaulicht.  

././Physikkurs/stromkreiseelemente_wechselstromwiderstand/images/geogebra_stromkreiselemente_standbild3.png
Abbildung 1770: Skizze (C)




Die obige Skizze zeigt eine Momentaufnahme eines Zeigerdiagramms. Durch vektorielle Addition der Stromzeiger kann die Amplitude des Gesamtstroms berechnet werden. Man erhält für die gesamte Stromamplitude I G :

I G =( IL - IC )2 + IR 2 .

Für die Impedanz der Gesamtschaltung erhält man dann:

Z = U I G = 1 ( IL U - IC U )2 + ( IR U )2 = 1 (ωC- 1 ωL )2 + 1 R2 = 1 ( 1 ZC - 1 ZL )2 + ( 1 R )2 .

Die Phasendifferenz φ ergibt sich mit:

tanφ= ωC- 1 ωL 1 R = 1 ZC - 1 ZL 1 R .





Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.