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Kapitel 10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie - Abschnitt 10.2 Geraden und Ebenen

10.2.4 Lagebeziehung von Geraden und Ebenen im Raum

Während es für die Lagebeziehung zweier Geraden in der Ebene nur drei Möglichkeiten gibt (die Geraden sind parallel, identisch oder sie schneiden sich, vgl. Abschnitt 9.2.3), existieren für zwei Geraden im Raum vier Möglichkeiten. Diese werden in der folgenden Infobox zusammengefasst.

Info 10.2.13  
 
Gegeben sind zwei Geraden im Raum in Punkt-Richtungsform, g mit Aufpunktvektor a→ und Richtungsvektor u→ sowie h mit Aufpunktvektor b→ und Richtungsvektor v→:

g:r→=a→+su→ ;  s∈ℝ ,



h:r→=b→+tv→ ;  t∈ℝ .

Für die relative Lage von g und h gibt es genau vier Möglichkeiten:
  1. Die Geraden sind identisch. In diesem Fall haben g und h alle Punkte gemeinsam, fallen also zusammen. Dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Richtungsvektoren u→ und v→ kollinear sind und es einen gemeinsamen Punkt gibt.

  2. Die Geraden sind parallel. Dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Richtungsvektoren u→ und v→ kollinear sind und es keinen gemeinsamen Punkt gibt.

  3. Die Geraden schneiden sich. In diesem Fall haben g und h genau einen gemeinsamen Punkt, der Schnittpunkt genannt wird. Dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Richtungsvektoren u→ und v→nicht kollinear sind und es einen gemeinsamen Punkt gibt.

  4. Geraden, die weder identisch noch parallel sind und sich auch nicht schneiden, heißen windschief. Dies ist genau dann der Fall, wenn die beiden Richtungsvektoren u→ und v→nicht kollinear sind und es keinen gemeinsamen Punkt gibt.



(Diese Abbildung erscheint in Kürze.)



Nach den Kriterien, die in obiger Infobox für die vier Möglichkeiten der relativen Lage zweier Geraden aufgeführt sind, geht man in der Praxis so vor, dass man zunächst die beiden Richtungsvektoren auf Kollinearität prüft und dann nach möglichen gemeinsamen Punkten der beiden Geraden sucht. Dies legt schließlich einen der vier Fälle eindeutig fest. Das folgende Beispiel zeigt Anwendungen dieses Vorgehens für alle vier Fälle.

Beispiel 10.2.14  
Gegeben sind die vier Geraden g, h, i und j in Parameterform:

g:r→=(-103)+s(-22-4) ;  s∈ℝ ,



h:r→=(1-27)+t(1-12) ;  t∈ℝ ,



i:r→=(408)+u(-33-6) ;  u∈ℝ

und

j:r→=(132)+v(13-3) ;  v∈ℝ .

  • Die Geraden g und h sind identisch. Die beiden Richtungsvektoren (-22-4) von g und (1-12) von h sind kollinear. Es gilt

    (-22-4)=-2·(1-12) .

    Außerdem ist der Punkt, welcher durch den Ortvektor (1-27) beschrieben wird, in h (als Aufpunkt) und g enthalten, denn für g gilt:

    (1-27)=(-103)+s(-22-4)=(-1-2s2s3-4s) ⇔ s=-1 .

    Also ergibt sich (1-27) in g für den Parameterwert s=-1.

  • Die Geraden h und i (und damit natürlich auch g und i) sind parallel. Die beiden Richtungsvektoren (1-12) von h und (-33-6) von i sind kollinear. Es gilt

    (-33-6)=-3·(1-12) .

    Allerdings haben h und i keine Punkte gemeinsam. Dies sieht man in diesem Fall folgendermaßen: Der Aufpunkt einer der beiden Geraden ist kein Punkt auf der anderen Geraden. Dann haben die beiden Geraden gar keine gemeinsamen Punkte. Hier kann man zum Beispiel testen, ob sich der Aufpunktvektor (408) der Gerade i als Ortsvektor der Gerade h ergeben kann:

    (408)=(1-27)+t(1-12)=(1+t-2-t7+2t) .

    In dieser Vektorgleichung ergäbe sich in der ersten Komponente t=3 und in der zweiten Komponente t=-2, was bereits ein Widerspruch ist. Folglich haben die beiden Geraden keine gemeinsamen Punkte.

  • Die Geraden i und j schneiden sich. Zunächst sind für diese beiden Geraden die Richtungsvektoren (-33-6) und (13-3) nicht kollinear. Es gibt keine Zahl a∈ℝ, so dass

    (-33-6)=a(13-3)

    gilt, denn für die erste Komponente müsste a=-3 und für die zweite Komponente a=1 gelten, was bereits ein Widerspruch ist. Allerdings haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt, den man durch Gleichsetzen der Ortsvektoren für i und j findet:

    (408)+u(-33-6)=(4-3u3u8-6u)=(1+v3+3v2-3v)=(132)+v(13-3) .

    Hier führen die ersten beiden Komponenten zu den Gleichungen

    3-3u=v  und  u=1+v

    für u und v, woraus man v=0 und u=1 berechnet. Dies eingesetzt in die dritte Komponente ergibt

    8-6·1=2-3·0 ⇔ 2=2 .

    Die Vektorgleichung für die Ortsvektoren ist also für die Parameterwerte u=1 und v=0 erfüllt. Folglich ergibt sich der Ortsvektor des Schnittpunkts für den Parameterwert u=1 in der Gerade i oder auch für den Parameterwert v=0 in der Gerade j. Man erhält als Schnittpunkt den Punkt (1;3;2).

  • Die Geraden g und j (und damit natürlich auch h und j) sind windschief. Auch in diesem Fall erhält man analog zum Fall mit Schnittpunkt oben recht schnell, dass die beiden Richtungsvektoren (-22-4) von g und (13-3) von j nicht kollinear sind. Nun haben die beiden Geraden aber keinen gemeinsamen Punkt, was man wieder durch Gleichsetzen der Ortsvektoren findet:

    (-103)+s(-22-4)=(-1-2s2s3-4s)=(1+v3+3v2-3v)=(132)+v(13-3) .

    Diese Vektorgleichung ist widersprüchlich, das heißt man findet keine Parameterwerte s und v, die sie erfüllen, und folglich haben g und j keine gemeinsamen Punkte. Die erste und die zweite Komponente führen auf die beiden Gleichungen

    -2s=2+v  und  2s=3+3v ,

    woraus man v=-54 und s=-38 berechnet. Setzt man dies aber in die dritte Komponente ein, so ergibt sich der Widerspruch

    3-4(-38)=2-3(-54) ⇔ 92=234 .







Aufgabe 10.2.15  
Die beiden Geraden

g:r→=(124)+x(-510-15) ;  x∈ℝ

und

h:r→=(407)+y(3-23) ;  y∈ℝ

schneiden sich, da

 die beiden Richtungsvektoren kollinear sind,
 die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind,
 die beiden Richtungsvektoren kollinear sind und die Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen,
 die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind und die Geraden einen gemeinsamen Punkt besitzen,
 die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind und die Geraden keinen gemeinsamen Punkt besitzen.


Berechnen Sie den Schnittpunkt S der beiden Geraden g und h.
S=

Der Ortsvektor des Schnittpunkts S→ ergibt sich in den Geraden g und h jeweils für die Parameterwerte
x= und
y= .



Aufgabe 10.2.16  
Die beiden Geraden

γ:r→=(-460)+s(3-2-2) ;  s∈ℝ

und

κ:r→=(ab4)+t(-32c1) ;  t∈ℝ

sind parallel. Bestimmen Sie den fehlenden Eintrag c und geben Sie an, welche Werte a und b für die Parallelität nicht gleichzeitig annehmen dürfen.

a≠
b≠
c=





Hat man zwei Geraden im Raum gegeben, die echt parallel sind oder sich schneiden, so stellt man fest, dass auch diese jeweils eine Ebene eindeutig festlegen:

(Diese Abbildung erscheint in Kürze.)

Es handelt sich dabei jeweils um diejenige Ebene, die beide Geraden beinhaltet.

Das folgende Beispiel zeigt, wie man aus zwei echt parallelen oder sich schneidenden Geraden die Parameterform der Ebene bekommt, die durch diese eindeutig festgelegt wird.

Beispiel 10.2.17  
  • Die beiden Geraden

    g:r→=(124)+s(-510-15) ;  s∈ℝ

    und

    h:r→=(407)+t(3-23) ;  t∈ℝ

    schneiden sich im Punkt S=(1;2;4) (vgl. Aufgabe 10.2.15). Dadurch wird eine Ebene E eindeutig festgelegt, die sowohl g als auch h beinhaltet. Für eine Parameterform von E benutzt man die Ortsvektoren von drei geeigneten Punkten, die man aus den Geraden g und h berechnet. Der Schnittpunkt eignet sich als Aufpunkt von E mit dem Aufpunktvektor

    S→=(124).

    Dann ergeben sich noch Ortsvektoren von zwei Punkten P und Q dadurch, dass man zum Beispiel die Parameterwerte s=1 und t=1 in die Parameterformen der Geraden einsetzt:

    P→=(124)+1·(-510-15)=(-412-11) ,



    Q→=(407)+1·(3-23)=(7-210) .

    Dies ergibt die Richtungsvektoren

    SP→=P→-S→=(-412-11)-(124)=(-510-15)

    und

    SQ→=Q→-S→=(7-210)-(124)=(6-411) .

    Somit ist eine mögliche Parameterform von E durch

    E:r→=(124)+μ(-510-15)+ν(6-411) ;  μ,ν∈ℝ

    gegeben.

  • Die beiden Geraden

    g:r→=(-460)+s(3-2-2) ;  s∈ℝ

    und

    h:r→=(114)+t(-3211) ;  t∈ℝ

    sind parallel (vgl. Aufgabe 10.2.16). Dadurch wird eine Ebene F eindeutig festgelegt, die sowohl g als auch h beinhaltet. Für eine Parameterform von F benutzt man die Ortsvektoren von drei geeigneten Punkten, die man aus den Geraden g und h berechnet. Es eignen sich die Ortsvektoren von Punkten auf g bzw. h, die sich für drei Parameterwerte ergeben, zum Beispiel s=0, s=1 und t=0:

    A→=(-460)+0·(3-2-2)=(-460) ,

    dient als Aufpunktvektor. Dann erhält man sofort unter Benutzung von

    B→=(-460)+1·(3-2-2)=(-14-2) ,

    dass für den ersten Richtungsvektor AB→ der Ebene F genau der Richtungsvektor (3-2-2) von g benutzt werden kann. Der zweite Richtungsvektor der Ebene ergibt sich aus dem Ortsvektor eines Punktes B auf h für den Parameterwert t=0, also den Aufpunkt von h:

    B→=(114) .

    Und folglich ist

    AB→=B→-A→=(114)-(-460)=(5-54)

    der zweite Richtungsvektor von F. Eine Parameterform von F ist also gegeben durch

    F:r→=(-460)+λ(3-2-2)+μ(5-54) ;  λ,μ∈ℝ .







Für die Lagebeziehung einer Geraden und einer Ebene im Raum gibt es wieder nur drei Möglichkeiten. Diese sind in der folgenden Infobox zusammengefasst.

Info 10.2.18  
 
Sind eine Gerade g mit Aufpunktvektor a→ und Richtungsvektor u→ sowie eine Ebene E mit Aufpunktvektor b→ und Richtungsvektoren v→ und w→ im Raum in Parameterform gegeben durch

g:r→=a→+λu→ ;  λ∈ℝ

und

E:r→=b→+μv→+νw→ ;  μ,ν∈ℝ ,

so gibt es für die relative Lage von g und E genau drei Möglichkeiten:
  1. Die Gerade g liegt in der Ebene E. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→, v→ und w→ komplanar sind und der Aufpunkt der Geraden in der Ebene liegt.

  2. Die Gerade g liegt parallel zur Ebene E. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→, v→ und w→ komplanar sind und der Aufpunkt der Geraden nicht in der Ebene liegt.

  3. Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→, v→ und w→ nicht komplanar sind.



(Diese Abbildung erscheint in Kürze.)



Hat man eine Gerade und eine Ebene gegeben und möchte man deren Lagebeziehung bestimmen, so überprüft man zunächst die drei Richtungsvektoren auf Komplanarität. Ist diese gegeben, so untersucht man den Aufpunkt der Geraden darauf hin, ob er in der Ebene enthalten ist. Dies legt letztlich einen der drei möglichen Fälle eindeutig fest. Falls sich Gerade und Ebene schneiden, kann man dann noch den Schnittpunkt berechnen. Das folgende Beispiel zeigt einige dafür benutzte Vorgehensweisen.

Beispiel 10.2.19  
Gegeben ist eine Ebene E in Parameterform durch

E:r→=(222)+s(3-10)+t(002) ;  s,t∈ℝ .

  • Eine Gerade, die den Vektor (3-1-4) als Richtungsvektor aufweist, liegt entweder in der Ebene E oder ist zu dieser parallel, da (3-1-4) zu den beiden Richtungsvektoren von E komplanar ist. Man findet aus der Bedingung

    (3-1-4)=s(3-10)+t(002)

    die Zahlen s=1 und t=-2. Folglich liegt die Gerade

    g:r→=(-130)+x(3-1-4) ;  x∈ℝ

    in der Ebene E, denn der Aufpunkt (-1;3;0) liegt in E, da man berechnet:

    (-130)=(222)+s(3-10)+t(002)=(2+3s2-s2+2t) ⇔ s=t=-1 .

    Der Ortsvektor (-130) der Geraden ergibt sich also für die Parameterwerte s=t=-1 in der Ebene. Demhingegen ist die Gerade

    h:r→=y(3-1-4) ;  y∈ℝ

    parallel zu Ebene E, denn h weist als Aufpunkt den Ursprung (0;0;0) auf. Der Ursprung liegt aber nicht in E, denn für die Vektorgleichung

    (000)=(222)+s(3-10)+t(002)=(2+3s2-s2+2t)

    gibt es keine Parameterwerte s und t, die diese erfüllen. Die erste Komponente würde s=-23 implizieren und die zweite Komponente s=2; ein Widerspruch.

  • Jede Gerade mit einem Richtungsvektor, der nicht komplanar zu den beiden Richtungsvektoren (3-10) und (002) von E ist, schneidet die Ebene E in genau einem Punkt. Ein Beispiel einer solchen Geraden ist

    k:r→=(-310)+μ(111) ;  μ∈ℝ .

    Der Richtungsvektor (111) ist nicht komplanar zu (3-10) und (002), denn die Bedingung

    (111)=a(3-10)+b(002)=(3a-a2b)

    ist durch keine Zahlen a,b∈ℝ erfüllbar. Die erste Komponente würde a=13 und die zweite a=-1 implizieren; ein Widerspruch. Nun kann durch Gleichsetzen der Ortsvektoren der Geraden k und der Ebene E der Schnittpunkt der beiden berechnet werden:

    (-310)+μ(111)=(-3+μ1+μμ)=(2+3s2-s2+2t)=(222)+s(3-10)+t(002) .

    Interessiert man sich nur für den Schnittpunkt, so genügt es den Parameterwert der Geraden zu bestimmen, für den diese Vektorgleichung erfüllt ist. Der Ortsvektor des Schnittpunkts ergibt sich dann durch Einsetzen des bestimmten Parameterwerts in die Gerade. Die ersten beiden Komponenten dieser Vektorgleichung liefern zwei Gleichungen für die Unbekannten μ und s:

    μ=5+3s  und  μ=1-s ,

    woraus man μ=2 erhält. Damit hat der Schnittpunkt den Ortsvektor

    (-310)+2(111)=(-132) .





Aufgabe 10.2.20  
Gegeben ist die Ebene

E:r→=(8-20)+s(132)+t(-11-1) ;  s,t∈ℝ

und die Gerade

g:r→=(021)+u(04c) ;  u∈ℝ ,

deren Aufpunkt nicht in E liegt.

Bestimmen Sie den fehlenden Eintrag c, so dass g parallel zu E ist.
c=

Berechnen Sie für alle anderen Werte von c den Schnittpunkt S=(x;y;z) in Abhängigkeit von c. Geben Sie die drei Komponenten von S getrennt an.
x=
y=
z=





Aufgabe 10.2.21  
Gegeben ist die Gerade

h:r→=(321)+ρ(-891) ;  ρ∈ℝ .

Bestimmen Sie folgende Werte des Parameters ρ:
  1. Wert des Parameters ρ für den h die xy-Ebene schneidet: ρ=

  2. Wert des Parameters ρ für den h die yz-Ebene schneidet: ρ=

  3. Wert des Parameters ρ für den h die xz-Ebene schneidet: ρ=







Betrachtet man zwei Ebenen im Raum, so gibt es für ihre Lagebeziehung drei Fälle, die sich analog zu den drei möglichen relativen Lagen zweier Geraden in der Ebene aus Abschnitt 9.2.3 verhalten. Die folgende Infobox stellt diese Fälle zusammen.

Info 10.2.22  
 
Gegeben sind zwei Ebenen E1 mit dem Aufpunktvektor a→1 und den beiden Richtungsvektoren u→1 und v→1 sowie E2 mit dem Aufpunktvektor a→2 und den beiden Richtungsvektoren u→2 und v→2 durch

E1:r→=a→1+μu→1+νv→1 ;  μ,ν∈ℝ

und

E2:r→=a→2+ρu→2+σv→2 ;  ρ,σ∈ℝ .

Für die relative Lage von E1 und E2 gibt es genau drei Möglichkeiten:
  1. Die Ebenen E1 und E2 sind identisch, falls sie alle Punkte gemeinsam haben. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, u→2 sowie die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, v→2 komplanar sind und der Aufpunkt von E1 in E2 enthalten ist.

  2. Die Ebenen E1 und E2 sind parallel, falls sie keine Punkte gemeinsam haben. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, u→2 sowie die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, v→2 komplanar sind und der Aufpunkt von E1nicht in E2 enthalten ist.

  3. Die Ebenen E1 und E2 schneiden sich, falls ihre gemeinsamen Punkte eine Gerade bilden. Dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, u→2oder die drei Richtungsvektoren u→1, v→1, v→2nicht komplanar sind.



(Diese Abbildung erscheint in Kürze.)



Natürlich sind in den Bedingungen für die drei Fälle, die in obiger Infobox angegeben sind, die Rollen der beiden Ebenen auch vertauschbar; man kann also beispielsweise auch überprüfen, ob der Aufpunkt von E2 in E1 enthalten ist; dies macht keinen Unterschied. Falls die Ebenen sich schneiden, kann die Schnittgerade berechnet werden. Schnittmengen von Ebenen wurden bereits in Abschnitt 4.3 im Rahmen der geometrischen Interpretation der Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit drei Unbekannten behandelt. Die Vertrautheit mit diesem Abschnitt wird im Folgenden vorausgesetzt und dessen kurze Wiederholung wird wärmstens empfohlen. Das folgende Beispiel zeigt die Vorgehensweise bei der Untersuchung der relativen Lage zweier Ebenen.

Beispiel 10.2.23  
Gegeben sind die drei Ebenen

E:r→=(02-2)+a(1-21)+b(40-2) ;  a,b∈ℝ ,



F:r→=(510)+c(5-2-1)+d(-3-23) ;  c,d∈ℝ

und

G:r→=(501)+x(1-20)+y(003) ;  x,y∈ℝ .

  • Die Ebenen E und F sind parallel. Die Richtungsvektoren (1-21) und (40-2) von E und der erste Richtungsvektor (5-2-1) von F sind komplanar, denn die Bedingung

    a(1-21)+b(40-2)=(5-2-1)

    ist durch die Zahlen a=b=1 erfüllt. Genauso sind die Richtungsvektoren (1-21) und (40-2) von E und der zweite Richtungsvektor (-3-23) von F sind komplanar, denn die Bedingung

    a(1-21)+b(40-2)=(-3-23)

    ist durch die Zahlen a=1 und b=-1 erfüllt. Weiterhin ist der Aufpunkt von F nicht in E enthalten, denn die Bedingung

    (510)=(02-2)+a(1-21)+b(40-2)=(a+4b2-2a-2+a-2b)

    ist für keine Parameterwerte a und b erfüllbar. Aus der zweiten Komponente würde a=12 folgen, was eingesetzt in die erste Komponente auf b=98 führt. Dies ergibt aber in der dritten Komponente den Widerspruch 0=-2+12-94. Würde man allerdings in F einen anderen Aufpunkt wählen, der in E enthalten ist, zum Beispiel den gleichen Aufpunkt wie in E, so würde man eine zu E identische Ebene erhalten, also eine andere Parameterdarstellung der gleichen Ebene. Zum Beispiel ist

    F':r→=(02-2)+α(5-2-1)+β(-3-23) ;  α,β∈ℝ

    eine solche Ebene.

  • Die Ebenen E und G schneiden sich. Beide Richtungsvektoren (1-20) und (003) von G sind nicht komplanar zu den beiden Richtungsvektoren (1-21) und (40-2) von E. Zum Beispiel gilt für den zweiten Richtungsvektor von G, dass die Bedingung

    (003)=a(1-21)+b(40-2)

    durch keine Zahlen a und b erfüllbar ist. Die ersten beiden Komponenten würden a=b=0 erzwingen, was der dritten Komponente widerspricht. Die Schnittgerade der beiden Ebenen berechnet man durch Gleichsetzen der Ortsvektoren. Man erhält hier:

    (02-2)+a(1-21)+b(40-2)=(a+4b2-2a-2+a-2b)=(5+x-2x1+3y)=(501)+x(1-20)+y(003) .

    Diese Vektorgleichung entspricht einem System von drei linearen Gleichungen mit den vier Unbekannten x, y, a und b. Dies wird nun mit den Methoden aus Abschnitt 4.4 gelöst, indem man eine der Unbekannten als Parameter auffasst und die anderen Unbekannten in Abhängigkeit von diesem berechnet. Dieser übrige Parameter wird am Ende der Parameter in der Punkt-Richtungsform der zu bestimmenden Schnittgeraden werden. Welche der Unbekannten man als Parameter auffasst, ist egal. Hier wird nun x als Parameter benutzt. Dann führen die ersten beiden Komponenten der Vektorgleichung auf die beiden Gleichungen

    a+4b=5+x  und  2-2a=-2x ,

    aus denen man a=1+x und b=1 berechnet. Dies in die dritte Komponente eingesetzt ergibt

    -2+(1+x)-2·1=1+3y ⇔ y=13x-43 .

    Nun kann y=13x-43 oder a=1+x und b=1 in die Ebene G oder E eingesetzt werden; dies führt - bei gleicher Parameterwahl - auf dieselbe Parameterdarstellung der Geraden h, nämlich der Schnittgeraden der beiden Ebenen. Für das Einsetzen in G ergibt sich:

    h:r→=(501)+x(1-20)+(13x-43)(003)=(50-3)+x(1-21) ;  x∈ℝ .







Aufgabe 10.2.24  
Gegeben sind die beiden Ebenen

E:r→=(-130)+a(2-58)+b(0-14) ;  a,b∈ℝ

und

F:r→=(500)+c(-23x)+d(2y12) ;  c,d∈ℝ ,

wobei der Aufpunkt von F nicht in E liegt.

Bestimmen Sie die fehlenden Komponenten x und y von F, so dass F und E parallel sind.
x=
y=





Aufgabe 10.2.25  
Gegeben sind die beiden Ebenen

E:r→=a(2-58)+b(0-14) ;  a,b∈ℝ

und

F:r→=c(034)+d(2-10) ;  c,d∈ℝ ,

welche sich schneiden und die Schnittgerade

g:r→=ξ(4xy) ;  ξ∈ℝ

besitzen.

Bestimmen Sie die fehlenden Komponenten x und y des Richtungsvektors der Schnittgerade.
x=
y=