Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 4.3.1 Einführung

Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme - Abschnitt 4.3 LGS mit drei Unbekannten

4.3.1 Einführung

In der Folge wird der Schwierigkeitsgrad ein wenig gesteigert, indem man zur Behandlung etwas komplizierterer Systeme übergeht:

Beispiel 4.3.1
Drei Kinder finden beim Spielen ein Portemonnaie mit

30

Euro. Da meint das erste Kind: „Wenn ich das Geld für mich alleine behalte, so besitze ich doppelt so viel wie ihr beide zusammen!“ Woraufhin das zweite Kind mit vor Stolz geschwellter Brust prahlt: „Und wenn ich das gefundene Geld einfach einstecke, habe ich dreimal so viel wie ihr beide!“ Das dritte Kind kann da nur überlegen schmunzeln: „Und wenn ich's nehme, so bin ich fünfmal so reich wie ihr beiden Gauner!“ Wieviel Geld besitzen die Kinder vor dem Fund?

Bezeichnet man die Geldsummen (in Euro) des ersten, zweiten bzw. dritten Kindes vor dem Portemonnaiefund mit

x

y

bzw.

z

, so kann man die Aussage des ersten Kindes wie folgt in eine mathematische Gleichung übersetzen:

x + 30 = 2 (y + z) \Leftrightarrow x - 2 y - 2 z = - 30 : Gleichung (1) .

Analog wird die Aussage des zweiten Kindes übertragen,

y + 30 = 3 (x + z) \Leftrightarrow - 3 x + y - 3 z = - 30 : Gleichung (2),

und schließlich diejenige des dritten Kindes:

z + 30 = 5 (x + y) \Leftrightarrow - 5 x - 5 y + z = - 30 : Gleichung (3) .

Es entsteht also ein System aus drei linearen Gleichungen in drei Unbekannten, die hier

x, y

und

z

heißen.

Wen die Lösung dieses kleinen Rätsels interessiert, der wird sie weiter unten sowohl im Rahmen der Einsetzmethode (siehe 4.3.6) als auch im Rahmen der Additionsmethode (siehe 4.3.8) ausführlich vorgerechnet finden.

Info 4.3.2

Ein Lineares Gleichungssystem, bestehend aus drei Gleichungen in den drei Unbekannten

x, y

und

z

, besitzt folgende allgemeine Gestalt:

\begin{matrix} a_{11} \cdot x + a_{12} \cdot y + a_{13} \cdot z & = & b_{1}, \\ a_{21} \cdot x + a_{22} \cdot y + a_{23} \cdot z & = & b_{2}, \\ a_{31} \cdot x + a_{32} \cdot y + a_{33} \cdot z & = & b_{3} . \end{matrix}

Dabei bezeichnen

a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}

und

a_{33}

die Koeffizienten sowie

b_{1}, b_{2}

und

b_{3}

die rechten Seiten des Linearen Gleichungssystems.

Wiederum nennt man das Lineare Gleichungssystem homogen, falls die rechten Seiten

b_{1}, b_{2}

und

b_{3}

verschwinden (

b_{1} = 0

b_{2} = 0

b_{3} = 0

). Andernfalls heißt das System inhomogen.