Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 2.1.4 Auflösen linearer Gleichungen

Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten - Abschnitt 2.1 Einfache Gleichungen

2.1.4 Auflösen linearer Gleichungen

Info 2.1.14

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der nur Vielfache von Unbestimmten und Konstanten vorkommen.

Für eine lineare Gleichung in einer Unbestimmten (hier

x

) gibt es nur drei Möglichkeiten:

Sie ist hat keine Lösung,
sie besitzt eine einzige Lösung,
sie hat jeden Wert $x$ als Lösung.

Diese drei Situationen erkennt man an der Umformungskette:

Endet die Umformungskette mit einer für alle $x$ falschen Aussage (z.B. $1 = 0$ ), so ist die Gleichung unlösbar.
Endet die Umformungskette mit einer für alle $x$ wahren Aussage (z.B. $1 = 1$ ), so ist die Gleichung für alle Werte für $x$ lösbar.
Ansonsten kann die Gleichung aufgelöst werden, d.h. man kann sie zur Gleichung $x = Wert$ umformen und die Lösung ablesen.

Mengennotation 2.1.15
In Mengenschreibweise (mit der Lösungsmenge

L

) kann man diese Fälle so notieren:

$L = {}$ oder $L = ∅$ , falls es keine Lösung gibt,
$L = {Wert}$ , falls es eine Lösung gibt,
$L = ℝ$ , falls alle reellen Zahlen $x$ Lösungen sind.

Beispiel 2.1.16
Die lineare Gleichung

3 x + 2 = 2 x - 1

hat eine Lösung. Diese erhält man durch Äquivalenzumformungen:

3 x + 2 = 2 x - 1 \underset{- 2 x}{\underset{⏟}{\Leftrightarrow}} x + 2 = - 1 \underset{- 2}{\underset{⏟}{\Leftrightarrow}} x = - 3 .

Also ist

x = - 3

die einzige Lösung.

Beispiel 2.1.17
Die lineare Gleichung

3 x + 3 = 9 x + 9

hat eine Lösung:

3 x + 3 = 9 x + 9 \underset{: (x + 1)}{\underset{⏟}{\Leftrightarrow}} 3 = 9 .

Dies ist eine falsche Aussage, also ist die Gleichung für alle

x \neq - 1

(Bedingung aus der Umformung) falsch. Einsetzen von

x = - 1

erfüllt jedoch die Gleichung, daher ist es die einzige Lösung.

Alternativ hätte man die Gleichung auch so umformen können:

3 x + 3 = 9 x + 9 \underset{- 3 x - 9}{\underset{⏟}{\Leftrightarrow}} - 6 = 6 x \Leftrightarrow x = - 1 .

Aufgabe 2.1.18
Formen Sie um und geben Sie die Lösungsmengen dieser linearen Gleichungen an:
Schreiben Sie einfach ${a}$ für eine einelementige Menge und

{}

für die leere Menge.

$x - 1 = 1 - x$ hat die Lösungsmenge $L$ $=$ ,
$4 x - 2 = 2 x + 2$ hat die Lösungsmenge $L$ $=$ ,
$2 x - 6 = 2 x - 10$ hat die Lösungsmenge $L$ $=$ .

Die erste Gleichung kann man zu

2 x = 2

bzw.

x = 1

umformen, also ist

L = {1}

die Lösungsmenge. Die zweite Gleichung kann zu

2 x = 4

mit

L = {2}

umgeformt werden. Die dritte Gleichung kann zu

- 6 = - 10

umgeformt werden, einer an sich falschen Aussage mit

L = {}

Aufgabe 2.1.19
Berechnen Sie die Lösung der allgemeinen linearen Gleichung

a x = b

, wobei

a, b

reelle Zahlen sind. Geben Sie an, wann die drei Fälle eintreten:

Jedes $x$ ist Lösung ( $L = ℝ$ ) falls $a$ $=$ und $b = 0$ ist.
Es gibt keine Lösung ( $L = ∅$ ) falls $a$ $=$ und $b \neq$ ist.
Ansonsten gibt es nur eine Lösung, und zwar $x$ $=$ .

Jedes

x

ist Lösung (

L = ℝ

) falls

a = 0

und

b = 0

ist. Es gibt keine Lösung (

L = ∅

) falls

a = 0

und

b \neq 0

ist. Ansonsten gibt es nur eine Lösung, und zwar

x = \frac{b}{a}