Kapitel 2 Gleichungen in einer Unbekannten - Abschnitt 2.2 Betragsgleichungen

2.2.1 Einführung

Die Betragsfunktion $|x|$ ordnet einem $x\in ℝ$ seinen Wert ohne das Vorzeichen zu: Ist $x\ge 0$, so ist $|x|=x$, andernfalls ist $|x|=-x$:

Betragsgleichungen sind Gleichungen, in denen ein oder mehrere Beträge vorkommen. Diese sind problematisch, da der Betrag eines Terms letztlich über eine Fallunterscheidung

${\displaystyle \left|\hspace{0.5em}\text{Term}\hspace{0.5em}\right|\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{cc}\hfill \text{Term}& \text{falls}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{Term}\ge 0\hfill \\ \hfill -\text{Term}& \text{falls}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{Term}<0\hfill \end{array}}$

berechnet wird. Diese Fallunterscheidungen müssen beim Lösen von Betragsgleichungen schrittweise aufgelöst und auf Lösungen untersucht werden.



Sobald mehrere Terme neben dem Betrag auftreten, ist jedoch eine Fallunterscheidung notwendig. Im folgenden Abschnitt wird ausführlich erklärt, wie man diese vornimmt und richtig notiert, da Fallunterscheidungen auch in den folgenden Modulen eine wichtige Rolle spielen werden.