Kapitel 1 Elementares Rechnen - Abschnitt 1.1 Zahlen, Variablen, Terme

1.1.1 Einführung

Die Mathematik ist eine Wissenschaft, in der allgemein abstrakte Strukturen und deren logische Zusammenhänge untersucht werden. Bevor auf die eigentlichen Inhalte dieses Abschnitts näher eingegangen wird, soll kurz auf den grundlegenden Begriff der Menge Bezug genommen werden.



Mathematik beinhaltet die Welt der Zahlen:

${\displaystyle \dots ;0;-3;4;\frac{4}{5};\sqrt{2};e;\pi ;\mathrm{12,3};{10}^{23};\dots \hspace{0.5em}.}$

Wenn man verschiedene Zahlen näher betrachtet, so erkennt man jedoch grundlegende Unterschiede. Manche Zahlen lassen sich nicht als geschlossener Dezimalbruch darstellen, andere sind schier unvorstellbar (imaginär), wieder andere kann man an den Fingern abzählen oder aber als Lösungen von Gleichungen gewinnen.



Diese Zahlenbereiche sind nicht unabhängig voneinander, sondern bilden eine Kette ineinandergeschachtelter Zahlenmengen:

${\displaystyle \mathbb{N}\subset \mathbb{N}{}_0\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\hspace{0.5em}.}$

Diese Zahlenbereiche erhält man, indem man sich nacheinander die Lösungen folgender Gleichungen anschaut und die Zahlenbereiche so erweitert, dass immer eine Lösung existiert:



Natürliche Zahlen treten immer dann auf, wenn Anzahlen bestimmt oder Dinge nummeriert werden müssen. Sie spielen in der Kombinatorik eine große Rolle: die Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Kugeln 6 Kugeln zu ziehen, ist zum Beispiel eine natürliche Zahl. In der Informatik bilden sie die Grundlage für die verschiedenen Zahlensysteme: das Dualsystem hat die Basis 2, das Dezimalsystem die Basis 10 und das Hexadezimalsystem die Basis 16. Bestimmte natürliche Zahlen, die Primzahlen, bilden die Grundlage der modernen Verschlüsselungstechniken.

In der Menge der natürlichen Zahlen lässt es sich einfach rechnen, aber man stoßt an Grenzen, wenn man zum Beispiel eine Temperaturangabe von 3${}^{\circ }$C liest (handelt es sich um Plus- oder Minusgrade?) oder eine Gleichung der Form $x+5=1$ auflösen möchte. Daher muss die Menge der natürlichen Zahlen um die negativen natürlichen Zahlen erweitert werden und man erhält $\mathbb{Z}$. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit

${\displaystyle \mathbb{Z}:=\{\dots ;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;\dots \}}$

bezeichnet. Ganze Zahlen werden immer dann benötigt, wenn das Vorzeichen der natürlichen Zahlen eine Rolle spielt. In $\mathbb{Z}$ können Zahlen voneinander subtrahiert werden, d.h. Gleichungssysteme der Form ${\displaystyle a+x=b}$ sind in $\mathbb{Z}$ immer lösbar (${\displaystyle x=b+(-a)}$).



Auf den ganzen Zahlen lässt sich eindeutig ein Vergleichssymbol $<$ definieren, die ganzen Zahlen lassen sich damit zu einer Kette anordnen:

${\displaystyle \dots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots \hspace{0.5em}.}$



Eine rationale Zahl stellt das Verhältnis zweier ganzer Zahlen dar:

Rationale Zahlen spielen immer dann eine Rolle, wenn Angaben „genauer“ werden sollen, also Temperaturen in Bruchteilen von ${}^{\circ }$C angegeben, Anteile von Flächen eingefärbt oder Medikamente aus bestimmten Bestandteilen zusammengemischt werden sollen.

Dabei ist zu beachten, dass die Darstellung als Bruch nicht eindeutig ist, man kann die gleiche Zahl durch mehrere Brüche beschreiben. Beispielsweise ist

${\displaystyle 2\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{4}{2}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\frac{1024}{512}}$

die gleiche rationale Zahl.

Andererseits kann nicht jede Zahl auf dem Zahlenstrahl als Bruch dargestellt werden. Betrachtet man zum Beispiel ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und will die Länge der Diagonalen $d$ berechnen, so erhält man nach dem Satz von Pythagoras:

${\displaystyle d^2=1^2+1^2=2,\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{also formal}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}d=\sqrt{2}.}$

Eine weitere Zahl, die nicht als Bruch dargestellt werden kann, erhält man durch Abrollen eines Rades mit Durchmesser $1$ auf der Zahlengeraden. Es handelt sich um die Zahl $\pi$. Man kann zeigen, dass diese beiden Zahlen ($\sqrt{2}$ und $\pi$) nicht in Form eines Bruchs geschrieben werden können. (Der Beweis für $\sqrt{2}$ ist dabei verhältnismäßig einfach.) Sie sind zwei Beispiele aus der Menge der sogenannten irrationalen Zahlen.




Eine Zahl ist irrational, wenn sie nicht rational ist, also nicht als Bruch aufgeschrieben werden kann. Die irrationalen Zahlen schließen nun die noch vorhandenen Lücken auf der Zahlengeraden, jedem Punkt entspricht genau eine reelle Zahl.

Reelle Zahlen dienen als Maßzahlen für Längen, Flächeninhalte, Temperaturen, Massen, etc. In diesem Kurs werden die mathematischen Probleme typischerweise mit reellen Zahlen gelöst.

Eine Grundeigenschaft reeller Zahlen ist, dass diese geordnet sind, d.h. für zwei reelle Zahlen $a,b$ gilt genau eine der drei Beziehungen $a<b$, $a=b$ oder $a>b$. Eine weitere definierende Eigenschaft ist die Vollständigkeit, die - grob gesprochen - die „Lückenlosigkeit“ der Zahlengeraden beschreibt.