Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 1.3.4 Summen- und Produktdarstellung

Kapitel 1 Elementares Rechnen - Abschnitt 1.3 Umformen von Termen

1.3.4 Summen- und Produktdarstellung

Mathematische Ausdrücke und Terme kann man auf verschiedene Arten notieren, die jeweils bestimmte Vor- und Nachteile haben. Dabei unterscheidet man im Wesentlichen, welche mathematischen Operationen zuletzt im Ausdruck ausgeführt werden. Die wichtigsten Typen sind Summen- und Produktdarstellungen.

Info 1.3.14

Bei einer Produktdarstellung ist die Produktoperation die zuletzt ausgeführte Operation. Wegen der Punkt-vor-Strich-Regel erreicht man diese Form nur dadurch, dass man Klammern um die Faktoren setzt. Aus der Produktdarstellung kann man besonders einfach ablesen, wann der fragliche Term den Wert Null annimmt. Das passiert genau dann, wenn einer der Faktoren Null wird.

Beispielsweise wird der Term

(x - 1) \cdot (x - 2)

zu Null, falls

x = 1

oder

x = 2

eingesetzt wird. Für alle anderen Werte für

x

ist er nicht Null.

Info 1.3.15

Bei einer Summendarstellung ist Addition bzw. Subtraktion die zuletzt ausgeführte Operation. Wegen der Punkt-vor-Strich-Regel sind Terme ohne Klammern automatisch in dieser Form. In der Summendarstellung lässt sich das asymptotische Verhalten eines Ausdrucks besonders leicht ablesen. Mit dem asymptotischen Verhalten einer Funktion wird beschrieben, wie sich die Funktion verhält, wenn man zu betragsmäßig immer größeren Werten der Variable

x

bis an die im Unendlichen liegenden Grenzen des Definitionsbereichs herangeht. Bei Polynomen z.B. wird es nur durch den Term mit dem höchsten Exponenten festgelegt.

Um zwischen beiden Darstellungen zu wechseln, gibt es mehrere Techniken.

Info 1.3.16

Beim Ausmultiplizieren werden Faktoren multipliziert, indem jeder Summand eines Faktors mit jedem Summanden des anderen Faktors multipliziert und die Ergebnisse summiert werden. Liegen mehr als zwei Faktoren vor, so sollten diese schrittweise (immer nur zwei miteinander) ausmultipliziert werden.

Beispiel 1.3.17
Die Funktion

f (x) = (x + 3) (x - 2) (x + 1)

multipliziert man wie folgt aus:

\begin{matrix} f (x) & = & (x + 3) \cdot (x - 2) \cdot (x + 1) \\ = & (x^{2} + 3 x - 2 x - 6) \cdot (x + 1) \\ = & (x^{2} + x - 6) \cdot (x + 1) \\ = & x^{3} + x^{2} - 6 x + x^{2} + x - 6 \\ = & x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 . \end{matrix}

Aufgabe 1.3.18
Multiplizieren Sie diese Terme vollständig aus und fassen Sie zusammen. Geben Sie das asymptotische Verhalten des Gesamtausdrucks an:

$f (x) = (3 - x) (x + 1)$ = .

$(3 - x) (x + 1) = 3 x + 3 - x^{2} - x = 3 + 2 x - x^{2}$

Beschreibung des asymptotischen Verhaltens:
Wenn $x$ gegen $\infty$ strebt, dann strebt $f (x)$ gegen .
Die Asymptotik kann, wenn sie sich in eindeutiger Weise ergibt, abkürzend mit dem Symbol „lim“ bezeichnet werden:

$lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty .$

Wenn $x$ gegen $- \infty$ strebt, dann strebt $f (x)$ gegen .

In diesem Fall ergibt sich

$lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .$

Unendliche Grenzwerte $\infty$ und Asymptoten können Sie als unendlich oder infinity eintippen, entsprechend -unendlich für $- \infty$ . Das asymptotische Verhalten wird in einem späteren Modul erklärt, falls Sie die Symbolik noch nicht beherrschen, können Sie diesen Aufgabenteil überspringen.
$(x + 4) (2 - x) (x + 2)$ = .

$(x + 4) (2 - x) (x + 2) = (x + 4) (4 - x^{4}) = 4 x - x^{3} + 16 - 4 x^{2} = 16 + 4 x - 4 x^{2} - x^{3}$
$(3 - x) (x + 1)^{2}$ = .

$(3 - x) (x + 1)^{2} = (3 - x) (x^{2} + 2 x + 1) = 3 x^{2} + 6 x + 3 - x^{3} - 2 x^{2} - x = 3 + 5 x + x^{2} - x^{3}$
$t \cdot (t + 1) \cdot (t^{2} + t + 1)$ = .

$t \cdot (t + 1) \cdot (t^{2} + t + 1) = (t^{2} + t) (t^{2} + t + 1) = t^{4} + t^{3} + t^{2} + t^{3} + t^{2} + t = t^{4} + 2 t^{3} + 2 t^{2} + t$

Ausmultiplizieren ergibt

f (x) = (3 - x) (x + 1) = - x^{2} + 2 x + 3

. Wegen des führenden Terms

- x^{2}

besitzt diese Funktion als Graph eine nach unten geöffnete Parabel mit den Asymptoten

- \infty

in beide Richtungen:

lim_{x \to \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty .

In den anderen Aufgabenteilen ergibt sich durch Ausmultiplizieren

\begin{matrix} (x + 4) (2 - x) (x + 2) & = & - x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + 16, \\ (3 - x) (x + 1)^{2} & = & (3 - x) (x^{2} + 2 x + 1) = - x^{3} + x^{2} + 5 x + 3, \\ t \cdot (t + 1) \cdot (t^{2} + t + 1) & = & t \cdot (t^{3} + 2 t^{2} + 2 t + 1) = t^{4} + 2 t^{3} + 2 t^{2} + t . \end{matrix}

Aufgabe 1.3.19
Dieser Graph gehört zu einem Polynom

g (x)

zweiten Grades:

Graph von

g (x)

Der Graph besitzt zwei Nullstellen $x_{1}$ und $x_{2}$ , die daraus entstehenden Faktoren ergeben ausmultipliziert das Polynom $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2})$ = .
Dieses Polynom gehört nicht zum Graph, denn an der Stelle $x = 0$ besitzt $f (x)$ den Wert , aber $g (x)$ besitzt laut Graph den Wert . Diesen Unterschied kann man korrigieren, indem man $g (x) = c \cdot f (x)$ setzt mit dem Vorfaktor $c$ = .
Zusammensetzen ergibt schließlich $g (x)$ = in Produktdarstellung.

Der Graph zeigt die Nullstellen

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 3

, die daraus entstehenden Faktoren ergeben ausmultipliziert das Polynom

f (x) = (x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6

. An der Stelle

x = 0

ist

f (0) = - 6

aber

g (0) = 12

laut Graph. Dies kann korrigiert werden, indem man noch den Faktor

- 2

hinzunimmt. Insgesamt erhält man

g (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 12

Aufgabe 1.3.20
Multiplizieren Sie vollständig aus:

(a + 2 b + 3 c)^{2}

Am einfachsten multipliziert man jeden Summanden links mit jedem Summanden rechts und fasst anschließend zusammen:

\begin{matrix} (a + 2 b + 3 c)^{2} & = & (a + 2 b + 3 c) \cdot (a + 2 b + 3 c) \\ = & a^{2} + 2 a b + 3 a c + 2 a b + 4 b^{2} + 6 b c + 3 a c + 6 b c + 9 c^{2} \\ = & a^{2} + 4 a b + 6 a c + 4 b^{2} + 12 b c + 9 c^{2} . \end{matrix}