Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 1.3.2 Termumformungen

Kapitel 1 Elementares Rechnen - Abschnitt 1.3 Umformen von Termen

1.3.2 Termumformungen

Interessant wird der Umgang mit Termen, wenn die Frage der Gleichheit zweier Termausdrücke gestellt wird oder komplizierte Terme vereinfacht werden sollen.

Info 1.3.2

Zwei Terme sind gleich, wenn Sie durch zulässige Termumformungen ineinander überführt werden können. Komplizierte Terme können durch die Anwendung von Rechengesetzen vereinfacht werden. Hierbei sind zu beachten:

Es gilt Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung.
Beim Rechnen mit Klammern gelten die Distributivgesetze:

$a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c, (a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c .$
Mit $d \neq 0$ gilt: $(a \pm b) : d = \frac{a}{d} \pm \frac{b}{d} .$
Bei geschachtelten Klammerausdrücken werden zunächst die inneren und dann die äußeren Klammern unter Beachtung der Rechengesetze aufgelöst.

Aufgabe 1.3.3
Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie die Terme soweit möglich:

$(1 - a) \cdot (1 - b)$ $=$ .

$(1 - a) \cdot (1 - b) = 1 - a - b + a b .$
$5 a - (2 b - (2 a - 7 b) + 4 a) - 3 b$ $=$ .

$5 a - (2 b - (2 a - 7 b) + 4 a) - 3 b = 5 a - 2 b + 2 a - 7 b - 4 a - 3 b = 3 a - 12 b .$

In den Eingaben dürfen keine Klammern mehr auftreten.

Info 1.3.4

Die binomischen Formeln lauten:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}, (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} .

Für

a

und

b

können dabei sowohl Zahlen wie auch ganze Terme auftreten:

Beispiel 1.3.5
Hier ein paar typische Anwendungen der binomischen Formeln:

$(1 + 2 x)^{2} = 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 x + (2 x)^{2} = 1 + 4 x + 4 x^{2}$ .
$(1 + 2 x) (1 - 2 x) = 1^{2} - (2 x)^{2} = 1 - 4 x^{2}$ .
$x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ , daran kann man ablesen, dass $x^{4} - 1$ nur die Nullstellen $x = 1$ und $x = - 1$ in den reellen Zahlen besitzt.
$(1 + x + y)^{2} = {((1 + x) + y)}^{2} = (1 + x)^{2} + 2 (1 + x) y + y^{2} = 1 + 2 x + x^{2} + 2 y + 2 x y + y^{2}$ .

Aufgabe 1.3.6
Wenden Sie die 2. binomische Formel an, um den Term zu vereinfachen:

(- 3 x + 4) (4 - 3 x)

=

(- 3 x + 4) (4 - 3 x) = (4 - 3 x) (4 - 3 x) = 16 - 24 x + 9 x^{2} .

Beispiel 1.3.7
Die binomischen Formeln können zum geschickten Umformen von quadratischen Ausdrücken verwendet werden. Dies ist sehr hilfreich, wenn Zahlenquadrate ohne Taschenrechner auszurechnen sind. Dabei zerlegt man Dies ist sehr hilfreich, wenn Zahlenquadrate ohne Taschenrechner auszurechnen sind. Dabei zerlegt man die zu quadrierende Zahl in eine einfache Zahl (meist eine Zehnerpotenz) und den Rest:

\begin{matrix} 103^{2} & = & (100 + 3)^{2} = 100^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^{2} = 10609, \\ 49^{2} & = & (50 - 1)^{2} = 50^{2} - 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^{2} = 2401, \\ 61^{2} - 59^{2} & = & (61 - 59) (61 + 59) = 2 \cdot 120 = 240 . \end{matrix}

Aufgabe 1.3.8
Berechnen Sie mit dieser Technik

1005^{2}

=

1005^{2} = (1000 + 5)^{2} = 1000000 + 2 \cdot 1000 \cdot 5 + 25 = 1010025 .

Im folgenden Aufgabenabschnitt können Sie die Umformungstechniken an zahlreichen Aufgaben einüben.