Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme - Abschnitt 4.2 LGS mit zwei Unbekannten

4.2.1 Einführung

Man beschränkt sich zunächst auf Lineare Gleichungssysteme in zwei Unbekannten.

Aufgrund der Linearität kann jede der beiden Gleichungen des Systems in Infobox 4.2.1 für sich als Gleichung einer Geraden in der $x$-$y$-Ebene interpretiert werden: Löst man z.B. die erste Gleichung nach $y$ auf,

${\displaystyle y=-\frac{a_{11}}{a_{12}}x+\frac{b_1}{a_{12}}\hspace{0.5em},}$

so kann man aus dieser expliziten Form direkt ablesen, dass eine Gerade mit der Steigung $m=-a_{11}/a_{12}$ und dem $y$-Achsenabschnitt $y_0=b_1/a_{12}$ beschrieben wird.

Am Rande wird festgehalten, dass das eben erwähnte Freistellen nach $y$ natürlich nur funktioniert, falls $a_{12}\ne 0$ ist. Ist $a_{12}=0$, so lautet die erste Gleichung $a_{11}·x=b_1$; diese ist für $a_{11}\ne 0$ äquivalent zu $x=(b_1/a_{11})$, was bedeutet, dass $x$ einen konstanten Wert annimmt; dies stellt ebenfalls eine Gerade dar, nämlich eine Gerade parallel zur $y$-Achse im Abstand $(b_1/a_{11})$.
Und was, wenn sowohl $a_{12}=0$ als auch $a_{11}=0$ gilt? Nun, dann muss ebenfalls $b_1=0$ sein, da ansonsten die erste Gleichung von vornherein einen Widerspruch ergeben würde. Für $a_{11}=a_{12}=b_1=0$ ist aber die erste Gleichung (für alle Werte von $x$ und $y$) immer identisch erfüllt ($0=0$) und somit wertlos.

Im Fall der zweiten Gleichung in Infobox 4.2.1 geht man ganz entsprechend vor:

${\displaystyle y=-\frac{a_{21}}{a_{22}}x+\frac{b_2}{a_{22}}\hspace{0.5em}.}$

Insgesamt erhält man zwei Geraden als Repräsentanten der beiden linearen Gleichungen, und die Frage nach Lösbarkeit und Lösung des Linearen Gleichungssystems, also die Frage nach der gleichzeitigen Gültigkeit beider Gleichungen, liest sich als Frage nach Existenz und Lage des Schnittpunkts der beiden Geraden. Dazu schaut man sich ein konkretes Beispiel an:

Diese anschauliche Betrachtungsweise eignet sich hervorragend, alle Fälle zu diskutieren, die überhaupt nur auftreten können: Denn entweder schneiden sich zwei Geraden in der $x$-$y$-Ebene - und dann ist der Schnittpunkt zwangsläufig eindeutig -, oder aber zwei solche Geraden verlaufen parallel - und besitzen somit keinen Schnittpunkt -, oder aber die beiden Geraden sind deckungsgleich - und schneiden sich daher sozusagen in unendlich vielen Punkten. Andere Möglichkeiten sind nicht denkbar. Demzufolge kann man im Hinblick auf die Mächtigkeit der Lösungsmenge des zugehörigen linearen Gleichungssystems Folgendes festhalten: Das Gesagte soll an zwei weiteren Beispielen, bei denen man direkt mit den Linearen Gleichungssystemen startet, verdeutlicht werden: Im Falle des Beispiels in der rechten Spalte sind andere Parametrisierungen der Lösungsmenge möglich und erlaubt. Es kommt im Grunde nur darauf an, die Punkte der (deckungsgleichen) Geraden geeignet zu beschreiben. Bei der obigen Angabe von $L$ wurde einfach die Geradengleichung selbst verwendet und die Laufvariable $t$ statt $x$ genannt.

Und was hat es mit den oben erwähnten möglichen Einschränkungen wegen der Grundmenge auf sich? Auch hierzu ein Beispiel: