Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 3.1.2 Auflösen einfacher Ungleichungen

Kapitel 3 Ungleichungen in einer Unbekannten - Abschnitt 3.1 Ungleichungen und ihre Lösungsmengen

3.1.2 Auflösen einfacher Ungleichungen

Ist die Unbestimmte in einer Ungleichung isoliert, so ist die Lösungsmenge ein Intervall, vgl. auch Infobox 1.1.5:

Info 3.1.3

Die aufgelösten Ungleichungen haben folgende Intervalle als Lösungsmenge:

$x < a$ besitzt die Lösungsmenge $] - \infty; a [$ , alle $x$ , die kleiner als $a$ sind.
$x \leq a$ besitzt die Lösungsmenge $] - \infty; a]$ , alle $x$ , die kleiner oder gleich $a$ sind.
$x > a$ besitzt die Lösungsmenge $] a; \infty [$ , alle $x$ , die größer als $a$ sind.
$x \geq a$ besitzt die Lösungsmenge $[a; \infty [$ , alle $x$ , die größer oder gleich $a$ sind.

Dabei ist

x

die Unbestimmte und

a

ein konkreter Zahlenwert. Tritt die Unbestimmte in der Ungleichung nicht mehr auf, so ist die Lösungsmenge entweder

ℝ =] - \infty; \infty [

, falls die Ungleichung erfüllt ist, oder die leere Menge

{}

, falls die Ungleichung nicht erfüllt ist.

Das Zeichen

\infty

bedeutet dabei unendlich. Ein endliches Intervall hat die Form

] a; b [

, was „alle Zahlen zwischen

a

und

b

“ bedeutet. Möchte man die Zahlenmenge nur auf einer Seite begrenzen, so kann man für die andere Seite die Symbole

\infty

(rechts) oder

- \infty

(links) einsetzen.

Wie schon bei den Gleichungen versucht man durch Umformungen, welche die Lösungsmenge nicht verändern, eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, aus der man die Lösungsmenge einfach ablesen kann:

Info 3.1.4

Um aus einer gegebenen Ungleichung eine aufgelöste Ungleichung zu erhalten, sind folgende Äquivalenzumformungen erlaubt:

Addition einer Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: $a < b$ ist äquivalent zu $a + c < b + c$ .
Multiplikation mit einer positiven Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung: $a < b$ ist äquivalent zu $a \cdot c < b \cdot c$ , falls $c > 0$ ist.
Multiplikation mit einer negativen Konstanten auf beiden Seiten der Ungleichung und Umdrehung des Vergleichssymbols: $a < b$ ist äquivalent zu $a \cdot c > b \cdot c$ , falls $c < 0$ ist.

Beispiel 3.1.5
Die Ungleichung

- \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} < 2

löst man schrittweise mit den obigen Umformungen auf:

\begin{matrix} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} < 2 ‖ + \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & - \frac{3}{4} x < 2 + \frac{1}{2} ‖ \cdot (- \frac{4}{3}) \\ \Leftrightarrow & x > - \frac{4}{3} (2 + \frac{1}{2}) ‖ Vereinfachen \\ \Leftrightarrow & x > - \frac{20}{6} = - \frac{10}{3} . \end{matrix}

Damit besitzt die ursprüngliche Ungleichung die Lösungsmenge

] - \frac{10}{3}; \infty [

. Wichtig ist bei den Umformungen, dass die Multiplikation mit der negativen Zahl

- \frac{4}{3}

das Vergleichssymbol umdreht.

Aufgabe 3.1.6
Sind diese Ungleichungen richtig oder falsch?

		$\frac{1}{2} > 1 - \frac{1}{3}$
		$a^{2} \geq 2 a b - b^{2}$ (wobei $a$ und $b$ unbekannte Zahlen sind)
		$\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$
		Angenommen $a < b$ , dann ist immer auch $a^{2} < b^{2}$ .

Die erste Ungleichung vereinfacht sich zu

\frac{1}{2} > \frac{2}{3}

, was nach Multiplikation mit

6

äquivalent ist zu

3 > 4

, dies ist eine falsche Aussage. Die zweite Ungleichung kann man durch Übertragen aller Zahlenwerte auf die linke Seite vereinfachen zu

a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0

, dies ist eine wegen

a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}

für alle Zahlen

a

und

b

wahre Aussage. Multiplikation der dritten Ungleichungskette mit dem Hauptnenner

12

ergibt die Kette

6 < 8 < 9

, die erfüllt ist. Die letzte Aussage ist dagegen falsch, beispielsweise für

a = - 1

und

b = 1

ist

a^{2} = 1

nicht kleiner als

b^{2} = 1

. Quadrieren von Termen ist keine Äquivalenzumformung.

Aufgabe 3.1.7
Welche Lösungsmengen besitzen die folgenden Ungleichungen?

$2 x + 1 > 3 x - 1$ besitzt das Lösungsintervall $L$ $=$ .
$- 3 x - \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2}$ besitzt das Lösungsintervall $L$ $=$ .
$x - \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2}$ besitzt das Lösungsintervall $L$ $=$ .

Geben Sie Intervalle in der Form (a;b) ein, für die Intervallgrenzen dürfen auch Brüche oder unendlich bzw. negativ -unendlich eingesetzt werden. Achten Sie darauf, ob die Randpunkte enthalten sind.

Umformen der ersten Ungleichung ergibt

\begin{matrix} 2 x + 1 > 3 x - 1 ‖ + 1 \\ \Leftrightarrow & 2 x + 2 > 3 x ‖ - 2 x \\ \Leftrightarrow & 2 > x \end{matrix}

und damit das Lösungsintervall

L =] - \infty; 2 [

. Umformen der zweiten Ungleichung ergibt

\begin{matrix} - 3 x - \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2} ‖ + 3 x - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & - 1 \leq 4 x ‖ \cdot \frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow & - \frac{1}{4} \leq x \end{matrix}

und damit

L = [- \frac{1}{4}; \infty [

. Umformen der dritten Ungleichung ergibt

\begin{matrix} x - \frac{1}{2} \leq x + \frac{1}{2} ‖ - x \\ \Leftrightarrow & - \frac{1}{2} \leq \frac{1}{2} . \end{matrix}

Diese Aussage ist unabhängig von

x \in ℝ

immer erfüllt, also ist

L = ℝ =] - \infty; \infty [

die Lösungsmenge.

Info 3.1.8

Eine Ungleichung in der Unbestimmten

x

ist linear, falls auf beiden Seiten der Ungleichung nur Vielfache von

x

und Konstanten vorkommen. Jede lineare Ungleichung lässt sich durch Äquivalenzumformungen zu einer der aufgelösten Gleichungen aus 3.1.3 umformen.