Kapitel 8 Integralrechnung - Abschnitt 8.1 Stammfunktionen

8.1.2 Stammfunktionen

Im Kontext dieses Kurses werden die Fragestellungen der Integralrechnung für Funktionen auf „zusammenhängenden“ Definitionsbereichen betrachtet, wie dies für viele praktische Fragestellungen von besonderer Bedeutung ist. Mathematisch formuliert, werden die Definitionsbereiche der Funktionen Intervalle sein. Dazu passend werden hier Stammfunktionen auf Intervallen definiert, mit denen die Frage nach der „Umkehrung“ der Ableitung betrachtet wird.



Zunächst sollen einige Beispiele betrachtet werden.



Es wird noch ein ganz einfaches Beispiel betrachtet, an dem ein wichtiger Aspekt deutlich wird, wenn eine Stammfunktion gesucht wird.

Das letzte Beispiel ist wenig überraschend, denn die Ableitung einer konstanten Funktion ist die Nullfunktion. Somit ist jede konstante Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=0$ auf einem Intervall, das heißt, es ist $F(x)$ gleich irgendeiner Zahl $C$ für jeden $x$-Wert. Andere Möglichkeiten, als dass es sich um irgendeine konstante Funktion handelt, gibt es aber nicht, wenn $f$ auf einem Intervall definiert ist.



Wenn die Funktionen $F$ und $G$ dieselbe Ableitung $f=F\text{'}=G\text{'}$ haben, dann ist $G\text{'}(x)-F\text{'}(x)=0$. Bildet man nun auf beiden Seiten der Gleichung die Stammfunktion auf einem Intervall, dann erhält man den Zusammenhang $G(x)-F(x)=C$. Somit ist $G(x)=F(x)+C$. Hat man also mit $F$ eine Stammfunktion von $f$ gefunden, dann ist auch $G$ mit $G(x)=F(x)+C$ eine Stammfunktion von $f$.



Die Gesamtheit aller Stammfunktionen wird auch unbestimmtes Integral genannt und in der oben eingeführten Form

${\displaystyle \int f(x)\hspace{0.17em}dx=F(x)+C}$
notiert, wobei $F$ irgendeine Stammfunktion von $f$ ist.

Durch die Schreibweise des unbestimmten Integrals wird betont, dass zur gegebenen Funktion $f$ eine Funktion $F$ mit $F\text{'}=f$ gesucht wird. Wie damit das (bestimmte) Integral einer stetigen Funktion $f$ berechnet werden kann, beschreibt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, der im nächsten Abschnitt in 8.2.3 erläutert wird.

Und woher kennt man den Wert dieser Konstanten $C$? Ist nur nach einer Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=0$ auf einem Intervall gefragt, ohne dass weitere Anforderungen bekannt sind, ist $C$ nicht festgelegt. Erst wenn zusätzlich ein Funktionswert $y_0=F(x_0)$ von $F$ an einer Stelle $x_0$ vorgegeben wird, ist dann auch $C$ festgelegt. Notiert man die Beziehung zwischen Ableitung $f=F\text{'}$ und Stammfunktionen $F$ in der eben besprochenen umgekehrten Sichtweise für die bisher betrachteten Funktionsklassen, ergibt sich die folgende Tabelle:



Das nächste Beispiel zeigt, wie die Tabelle gelesen wird.



In Tabellenwerken wird auf die Angaben der Konstanten oft verzichtet. In einer Rechnung ist es allerdings wichtig, anzugeben, dass es mehrere Funktionen geben kann. Bei der Lösung anwendungsbezogener Aufgaben wird die Konstante $C$ häufig durch die Angabe weiterer Bedingungen wie beispielsweise die Angabe eines Funktionswertes einer Stammfunktion festgelegt.