Kapitel 8 Integralrechnung - Abschnitt 8.1 Stammfunktionen

8.1.1 Einführung

Im letzten Kapitel wurden Ableitungen von Funktionen behandelt. Natürlich stellt sich, wie bei jeder Rechenoperation, auch hier die Frage nach der Umkehrung, so wie die Subtraktion als Umkehrung der Addition aufgefasst werden kann oder die Division als Umkehrung der Multiplikation. Die Suche nach der Umkehrung der Ableitung führt zur Einführung der Integralrechnung und damit zur Stammfunktionsbildung. Der Zusammenhang ist sehr einfach erklärt. Kann man einer Funktion $f$ eine Ableitung $f\text{'}$ zuordnen und fasst auch $f\text{'}$ als Funktion auf, so kann man auch der Funktion $f\text{'}$ eine Funktion $f$ zuordnen, indem man die Operation ,,Ableitung'' rückgängig macht. Man dreht in diesem Kapitel also die Fragestellung um: Kann man zu einer Funktion $f$ eine andere Funktion finden, deren Ableitung wieder die Funktion $f$ ist?

Die Anwendungen der Integralrechnung sind genauso vielfältig wie die Anwendungen der Differentialrechnung. Untersucht man zum Beispiel in der Physik die Kraft $F$, die auf einen Körper mit der Masse $m$ wirkt, dann kann man unter Verwendung des bekannten Zusammenhangs $F=ma$, wo $a$ die Beschleunigung des Körpers ist, zunächst aus der Kraft die Beschleunigung $a=F/m$ berechnen. Interpretiert man die Beschleunigung als Änderungsrate der Geschwindigkeit, $a=\frac{dv}{dt}$, dann kann man anschließend die Geschwindigkeit über die Umkehrung der Ableitung - also durch die Integralrechnung - bestimmen. Ähnliche Zusammenhänge lassen sich in vielen Bereichen aus Naturwissenschaften, Technik und auch Wirtschaftswissenschaften finden. So benötigt man die Integralrechnung zur Bestimmung von Flächen, von Schwerpunkten, Biegeeigenschaften von Balken oder zur Lösung sogenannter Differentialgleichungen, mit denen viele Probleme im naturwissenschaftlich-technischen Umfeld beschrieben werden.