Kapitel 8 Integralrechnung - Abschnitt 8.2 Bestimmtes Integral

8.2.1 Einführung

Die Ableitung $f\text{'}(x_0)$ einer differenzierbaren Funktion $f$ beschreibt, wie sich die Funktionswerte „in der Nähe“ der Stelle $x_0$ ändern: Wenn beispielsweise die Ableitung positiv ist, dann ist $f$ monoton wachsend. Geometrisch betrachtet drückt sich dies durch eine Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$ mit positiver Steigung aus. Die Ableitung bietet eine lokale Sichtweise auf die Funktion an jeder Stelle $x_0$. Dadurch gewinnt man sehr viele Detailinformationen.

Umgekehrt erhält man eine „globale Kenngröße“, wenn man eine „Bilanz“ erstellt, indem man die Funktionswerte gewichtet aufsummiert. In der Mathematik spricht man vom Integral oder Integralwert der Funktion. Geometrisch betrachtet, führt diese Idee auf eine Möglichkeit, den Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion zu berechnen. Präzisiert wurde dieses Vorgehen von Bernhard Riemann, nach dem dieses Integral auch Riemann-Integral genannt wird.