Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 7.2.4 Aufgaben

Kapitel 7 Differentialrechnung - Abschnitt 7.2 Standardableitungen

7.2.4 Aufgaben

Aufgabe 7.2.7
Bestimmen Sie die Ableitung, indem Sie die Funktionsterme vereinfachen und dann Ihre Kenntnisse über die Ableitung bekannter Funktionen anwenden (

x > 0

$f (x) : = x^{6} \cdot x^{\frac{7}{2}} =$ .
$g (x) : = \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} =$ .

Damit ist:

$f' (x) =$ .
$g' (x) =$ .

Es ist $f (x) = x^{6} \cdot x^{\frac{7}{2}} = x^{6 + \frac{7}{2}} = x^{\frac{19}{2}}$ . Damit gilt $f' (x) = \frac{19}{2} x^{\frac{19}{2} - 1} = \frac{19}{2} x^{\frac{17}{2}}$ .
Es ist $g (x) = \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} = x^{- \frac{3}{2}} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x^{- 2}$ . Damit gilt $g' (x) = (- 2) \cdot x^{- 2 - 1} = - 2 \cdot x^{- 3} = - \frac{2}{x^{3}}$ .

Aufgabe 7.2.8
Vereinfachen Sie die Funktionsterme, um dann die Ableitung zu bestimmen:

$f (x) : = 2 \sin (\frac{x}{2}) \cdot \cos (\frac{x}{2}) =$ .
$g (x) : = \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) =$ .

Damit ist:

$f' (x) =$ .
$g' (x) =$ .

Es ist allgemein

$\sin (u) \cdot \cos (v) = \frac{1}{2} (\sin (u - v) + \sin (u + v)) .$
Im vorliegenden Fall gilt somit $f (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} (\sin (0) + \sin (x)) = \sin (x)$ und daher $f' (x) = \cos (x)$ .
Wegen $\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u) = 1$ gilt $g (x) = 1$ und daher $g' (x) = 0$ .

Aufgabe 7.2.9
Vereinfachen Sie die Funktionsterme, um dann die Ableitung zu bestimmen (für

x > 0

in der ersten Teilaufgabe):

$f (x) : = 3 \ln (x) + \ln (\frac{1}{x}) =$ .
$g (x) : = {(e^{x})}^{2} \cdot e^{- x} =$ .

Damit ist:

$f' (x) =$ .
$g' (x) =$ .

Schreiben Sie Exponentialfunktionen mit exp, beispielsweise schreiben Sie

e^{4 x^{2}}

als exp(4*x^2).

Es ist

$f (x) = 3 \ln (x) + \ln (\frac{1}{x}) = \ln (x^{3}) + \ln (\frac{1}{x}) = \ln (x^{3} \cdot \frac{1}{x}) = \ln (x^{2}) .$
Für den Wert der Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ ( $x > 0$ ) folgt daher mit Hilfe der Kettenregel $f' (x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x = \frac{2}{x}$ . (Die Kettenregel wird im Abschnitt 7.3.4 ausführlich erläutert.)
Es ist

$g (x) = {(e^{x})}^{2} \cdot e^{- x} = e^{x} \cdot e^{x} \cdot e^{- x} = e^{x + x - x} = e^{x} .$
Daher folgt $g' (x) = e^{x}$ .