Kapitel 7 Differentialrechnung - Abschnitt 7.4 Eigenschaften von Funktionen

7.4.3 Zweite Ableitung und Krümmungseigenschaften

Gegenstand der Untersuchung ist eine Funktion $f:D\to ℝ$, die auf dem Intervall $]a;b[\subseteq D$ differenzierbar ist. Ist deren Ableitung $f\text{'}$ ebenfalls auf dem Intervall $]a;b[\subseteq D$ differenzierbar, so heißt $f$zweimal differenzierbar. Bildet man die Ableitung der ersten Ableitung von $f$, dann nennt man $(f\text{'})\text{'}=f\text{'}\text{'}$ die zweite Ableitung der Funktion $f$.

Die zweite Ableitung der Funktion $f$ kann verwendet werden, um das Krümmungsverhalten der Funktion zu untersuchen:



Somit genügt es, das Vorzeichen der zweiten Ableitung $f\text{'}\text{'}$ zu bestimmen, um zu erkennen, ob eine Funktion konvex (linksgekrümmt) oder konkav (rechtsgekrümmt) ist.



Das folgende Beispiel zeigt, dass eine monoton wachsende Funktion in einem Bereich konvex und in einem anderen konkav sein kann.