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Kapitel 7 Differentialrechnung - Abschnitt 7.4 Eigenschaften von Funktionen

7.4.2 Monotonie



Mit der Ableitung kann das lokale Wachstumsverhalten untersucht werden, das heißt, ob für steigende Argumente die zugehörigen Funktionswerte größer oder kleiner werden. Dazu wird eine Funktion f:D betrachtet, die auf ]a;b[D differenzierbar ist:
./VBKM07mtikzauto_6.4x.png


Wenn f'(x)0 für alle x zwischen a und b gilt, dann ist f auf dem Intervall ]a;b[ monoton fallend.

Wenn f'(x)0 für alle x zwischen a und b gilt, dann ist f auf dem Intervall ]a;b[ monoton wachsend.

Somit genügt es, das Vorzeichen der Ableitung f' zu bestimmen, um zu erkennen, ob eine Funktion auf dem Intervall ]a;b[ monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Beispiel 7.4.1  
Die Funktion f:,xx3 ist differenzierbar mit f'(x)=3x2. Da x20 für alle x gilt, ist f'(x)0 und damit f monoton wachsend.

Für g: mit g(x)=2x3+6x2-18x+10 besitzt g'(x)=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1) die Nullstellen x1=-3 und x2=1. Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens werden also drei Bereiche unterschieden, in denen die Ableitung g' jeweils ein anderes Vorzeichen hat.

Mit Hilfe folgender Tabelle wird bestimmt, in welchen Bereichen die Ableitung von g positiv bzw. negativ ist. Diese Bereiche entsprechen den Monotoniebereichen von g. Der Eintrag + besagt, dass der betrachtete Term im angegebenen Intervall positiv ist. Wenn er negativ ist, wird - eingetragen:

xx<-3-3<x<11<xx+3-++x-1--+g'(x)+-+g  ist monoton    wachsend    fallend    wachsend  

Für die Funktion h:{0} mit h(x)=1x gilt h'(x)=-1x2. Hier ist h'(x)<0 für alle x0.

Auch wenn für die beiden Teilbereiche x<0 und x>0 dasselbe Monotonieverhalten auftritt, ist h nicht über den gesamten Definitionsbereich monoton fallend. Als Gegenbeispiel kann h(-2)=-12 und h(1)=1 angeführt werden. Hier gilt -2<1, aber auch h(-2)<h(1). Dies entspricht einem wachsenden Verhalten beim Übergang vom einen zum anderen Teilbereich. Dass die Funktion h auf ]-;0[ monoton fallend ist, bedeutet also, die Einschränkung von h auf dieses Intervall ist monoton fallend. Zudem ist h für alle x>0 ebenfalls monoton fallend.