Die Ableitung $f\text{'}$ der Funktion $f$ besitzt den Funktionsterm

${\displaystyle f\text{'}(x)=\frac{2x·(x^2+1)-(x^2-1)·2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}\hspace{0.5em}.}$
Da der Nenner von $f\text{'}(x)$ immer positiv ist, bestimmt ausschließlich der Zähler das Vorzeichen von $f\text{'}(x)$: Für alle negativen $x\in ℝ$ ist $f\text{'}(x)<0$ und $f$ daher dort monoton fallend; für alle positiven $x\in ℝ$ dagegen ist $f\text{'}(x)>0$ und $f$ daher dort monoton wachsend.

Man berechnet für die erste und die zweite Ableitung von $f$ mit Hilfe der Quotientenregel

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\multicolumn{1}{c}{f\text{'}(x)}& =\hfill & \frac{4x}{(x^2+1{)}^2}\hspace{0.5em},\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{f\text{'}\text{'}(x)}& =\hfill & \frac{4·(x^2+1{)}^2-4x·2(x^2+1)·2x}{(x^2+1{)}^4}=\frac{4x^2+4-16x^2}{(x^2+1{)}^3}=\frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1{)}^3}\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$
Da $4/(x^2+1{)}^3$ stets positiv ist, wird das Vorzeichen von $f\text{'}\text{'}(x)$ einzig durch den Faktor $(1-3x^2)$ bestimmt. Die einfachen Nullstellen von $f\text{'}\text{'}(x)$ liegen bei $x_0=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$. Daher ist für $x>0$$f\text{'}\text{'}(x)$ auf dem offenen Intervall $]0;\frac{1}{\sqrt{3}}[$ echt größer $0$ und $f$ daher dort linksgekrümmt (konvex). Auf $]\frac{1}{\sqrt{3}};\infty [$ gilt $f\text{'}\text{'}(x)<0$; somit ist $f$ dort rechtsgekrümmt (konkav).

Das Monotonieverhalten wird durch die Ableitung $f\text{'}$ der Funktion $f$ bestimmt. Da der Graph der Ableitung $f\text{'}$ in der Aufgabenstellung als Schaubild gegeben ist, muss man nur ablesen, in welchen Intervallen der Graph oberhalb (bzw. unterhalb) der $x$-Achse verläuft: Auf den Intervallen $[-\mathrm{4,5};-4[$, $]0;3[$ und $]3;4[$ ist $f\text{'}(x)>0$ und $f$ daher dort monoton wachsend; auf dem Intervall $]-4;0[$ dagegen ist $f\text{'}(x)<0$ und $f$ daher dort monoton fallend.

An einer Extremstelle $x_e$ (Maximal- oder Minimalstelle) einer Funktion $f$ (die nicht auf dem Rand des Definitionsbereichs liegt) verschwindet die erste Ableitung: $f\text{'}(x_e)=0$. Anschaulich bedeutet dies, dass an einer solchen Stelle die Tangente an den Graphen von $f$ waagrecht verläuft. Die Nullstellen von $f\text{'}(x)$ liegen laut Aufgabenstellung bei $x_1=-4$, $x_2=0$ und $x_3=3$. Da $f$ auf $]-\mathrm{4,5};-4[$ monoton wächst und auf $]-4;0[$ monoton fällt, ist $x_1=-4$ eine Maximalstelle. Analog begründet man, dass bei $x_2=0$ eine Minimalstelle vorliegt. (Bei $x_3=3$ handelt es sich um eine Sattelstelle.)