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Kapitel 7 Differentialrechnung - Abschnitt 7.5 Anwendungen

7.5.5 Beispiel



Das obige Beispiel soll etwas genauer betrachtet werden: Es geht also um die Minimierung der Oberfläche einer zylinderförmigen Dose bei einem vorgegebenen Volumen (Grundfläche mal Höhe)

V=πr2h=1,

wobei r der Radius der Grundfläche und h die Höhe der Dose sind. Die Oberfläche setzt sich aus dem Deckel und dem Boden (jeweils mit einer Fläche der Größe πr2) und der Mantelfläche (der Größe 2πrh) zusammen, und man erhält O=2πr2+2πrh. Die Oberfläche der Dose ist eine Funktion vom Radius r und von der Höhe h. Im Gegensatz dazu wird dem Volumen ein fester Wert zugeordnet (Nebenbedingung). Es kann also geschrieben werden:

O(r,h)=2πr2+2πrh.

Wegen der Nebenbedingung, dass V=πr2h=1 sein soll, kann man dieses Problem in ursprünglich zwei Variablen (r und h) auf ein Problem mit nur noch einer Variablen reduzieren. Umformen des Volumens nach der Höhe der Dose führt auf:

πr2h=1   h=1πr2.

Nach dem Einsetzen dieser Formel in die Funktion O(r,h) resultiert eine Funktion, die nur noch von einer Variablen abhängt und die der Einfachheit halber ebenfalls O genannt werde:

O(r,h)=2πr2+2πrh=2πr2+2πr1πr2=2(πr2+1r)=O(r).

Nach dieser Manipulation kann die Frage nach der minimalen Oberfläche der Dose ganz analog zu den Extremwertaufgaben von Funktionen bearbeitet werden. Es wird also die erste Ableitung der Funktion O nach der Variablen r gebildet und diese gleich Null gesetzt:

O'(r)=2(2πr-1r2)=0   2πr=1r2   2πr3=1   r3=12π   r=12π3.

Für die letzte Äquivalenzumformung wurde verwendet, dass der Radius r keine negativen Werte annehmen kann. Einsetzen dieses Ergebnisses in die zweite Ableitung von O dient der Überprüfung, ob wirklich ein Minimum gefunden wurde (O''(r)=4π+4/r3):

O''(12π3)=4π+4(12π3)3=12π>0.

Für den Radius r=12π3 wird die Oberfläche der zylindrischen Dose mit dem gegebenen Volumen V=1 minimal. Die Höhe erhält man in diesem Fall zu h=1π(12π3)2=4π3. Wird eine Dose mit diesen Maßen hergestellt, wird für das im Beispiel vorgegebene Volumen der Materialverbrauch minimiert.