Kapitel 7 Differentialrechnung - Abschnitt 7.5 Anwendungen

7.5.4 Optimierungsaufgaben

In vielen Anwendungen der Technik oder Wirtschaft findet man Problemlösungen, die nicht eindeutig sind. Häufig hängen sie von variablen Bedingungen ab. Um eine ideale Lösung zu finden, werden zusätzliche Eigenschaften (Nebenbedingungen) definiert, die von der Lösung erfüllt werden müssen. Dies führt sehr oft zu sogenannten Optimierungsaufgaben, bei denen aus einer Schar von Lösungen diejenige gesucht werden muss, die eine vorab festgelegte Eigenschaft am besten erfüllt.

Als Beispiel werde die Aufgabe betrachtet, eine zylinderförmige Dose zu konstruieren. Die Dose soll zusätzlich die Bedingung erfüllen, ein Fassungsvermögen (Volumen) $V$ von einem Liter, also einem Kubikdezimeter ($1\hspace{0.17em}\mathrm{dm}{}^3$), zu haben. Wählt man für $V$ die Einheit $\mathrm{dm}{}^3$ und sind $r$ der Radius und $h$ die Höhe der Dose, jeweils gemessen in Dezimetern ($\mathrm{dm}$), so soll also $V=\pi r^2·h=1$ sein. Um Arbeitsmaterial zu sparen, wird nach derjenigen Dose gesucht, die eine möglichst kleine Oberfläche $O=2·\pi r^2+2\pi rh$ hat. Hier ist die Oberfläche $O$ in Quadratdezimetern ($\mathrm{dm}{}^2$) eine Funktion in Abhängigkeit vom Radius $r$ und von der Höhe $h$ der Dose.

Mathematisch formuliert, führt die Aufgabe auf die Suche nach einem Minimum für die Funktion $O$ der Oberfläche, wobei für die Berechnung des Minimums nur Werte für $r$ und $h$ zugelassen werden, für die auch die Bedingung über das Volumen $V=\pi r^2·h=1$ erfüllt ist. Eine solche zusätzliche Bedingung bei der Suche nach Extremstellen wird auch Nebenbedingung genannt.