Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 7.3.2 Vielfaches und Summe von Funktionen

Im Folgenden bezeichnen

u, v : D \to ℝ

zwei beliebige differenzierbare Funktionen sowie

r

eine beliebige reelle Zahl.

Summenregel und Vielfaches von Funktionen 7.3.1
Sind

u

und

v

als differenzierbare Funktionen vorgegeben, dann ist auch die Summe

f : = u + v

mit

f (x) = (u + v) (x) : = u (x) + v (x)

differenzierbar, und es gilt

f' (x) = u' (x) + v' (x) .

Auch das

r

-fache einer Funktion, also

f : = r \cdot u

mit

f (x) = (r \cdot u) (x) : = r \cdot u (x)

ist differenzierbar, und es gilt

f' (x) = r \cdot u' (x) .

Mit diesen beiden Rechenregeln und der Ableitungsregel für Monome

x^{n}

lässt sich z.B. jedes beliebige Polynom ableiten. Es folgen einige Beispiele:

Beispiel 7.3.2
Das Polynom

f

mit dem Funktionsterm

f (x) = \frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + 5

ist differenzierbar, und man erhält

f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} - 4 x .

Die Ableitung der Funktion

g :] 0; \infty [\to ℝ

mit

g (x) = x^{3} + \ln (x)

ist

g' :] 0; \infty [\to ℝ mit g' (x) = 3 x^{2} + \frac{1}{x} = \frac{3 x^{3} + 1}{x} .

Ableiten der Funktion

h : [0; \infty [\to ℝ

mit

h (x) = 4^{- 1} \cdot x^{2} - \sqrt{x} = \frac{1}{4} x^{2} + (- 1) \cdot x^{\frac{1}{2}}

führt für

x > 0

auf

h' (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} - 1}{2 \sqrt{x}} .