Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 6.3.2 Wurzelfunktionen

Kapitel 6 Elementare Funktionen - Abschnitt 6.3 Potenzfunktionen

6.3.2 Wurzelfunktionen

Beispiel 6.3.1
Untersucht man einen Körper, der sich im freien Fall im homogenen Gravitationsfeld der Erde befindet, so kann man folgenden Zusammenhang zwischen seiner Fallzeit und seinem zurückgelegten Weg feststellen:

Fallzeit $t$ in Sekunden	$0$	$\sqrt{\frac{2}{g}}$	$\sqrt{\frac{2}{g}} \cdot 1,5$	$\sqrt{\frac{2}{g}} \cdot 2$	$\sqrt{\frac{2}{g}} \cdot 3$
zurückgelegter Weg $s$ in Metern	$0$	$1$	$2,25$	$4$	$9$

Dabei ist

g \approx 9,81 \frac{m}{s^{2}}

die physikalische Konstante der Fallbeschleunigung. Trägt man nun diese Werte in einem Diagramm mit

t

auf der Hochachse und

s

auf der Querachse auf, erhält man:

./elfunktionenmtikzauto_48.4x.png

Dies legt nahe, dass man den Zusammenhang zwischen

t

und

s

, mit

s

als Veränderlicher, mathematisch durch die Funktion

t : {\begin{matrix} [0; \infty) & \to & ℝ \\ s & ⟼ & \sqrt{\frac{2}{g}} \cdot \sqrt{s} \end{matrix}

beschreiben kann, also eine Funktion, in deren Abbildungsvorschrift die Wurzel (genauer gesagt die Quadratwurzel) der Veränderlichen vorkommt. Deren Graph beinhaltet dann die obigen gemessenen Punkte:

./elfunktionenmtikzauto_49.4x.png

Dieses Beispiel zeigt, dass Funktionen mit Abbildungsvorschriften, die Wurzeln der Veränderlichen enthalten, natürlicherweise in Anwendungen der Mathematik auftauchen.

Für natürliche Zahlen

n \in ℕ

n > 1

bezeichnet man die Funktionen

f_{n} : {\begin{matrix} D_{f_{n}} & \to & ℝ \\ x & ⟼ & \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \end{matrix}

als die Klasse der Wurzelfunktionen. Diese beinhalten offenbar die Quadratwurzel

f_{2} (x) = \sqrt{x}

, die dritte Wurzel

f_{3} (x) = \sqrt[3]{x}

, die vierte Wurzel

f_{4} (x) = \sqrt[4]{x}

, usw. als Abbildungsvorschriften von Funktionen (vgl. Potenzgesetze).

Aufgabe 6.3.2
Benutzen Sie die Potenzrechengesetze, um die Abbildungsvorschrift der Wurzelfunktionen ohne Wurzelzeichen und stattdessen mit Hilfe von Exponenten aufzuschreiben.

Nach den Potenzrechengesetzen gilt

f_{n} (x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

für alle natürlichen Zahlen

n

. Also zum Beispiel

f_{2} (x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, f_{3} (x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, f_{4} (x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}, \dots

Aufgabe 6.3.3
Welche Funktion

f_{n}

ergäbe sich für

n = 1

Für

n = 1

gilt nach den Potenzrechengesetzen

f_{1} (x) = \sqrt[1]{x} = x^{\frac{1}{1}} = x = Id (x) .

Es ergibt sich also die Identität. Diese schließt man für gewöhnlich aus der Klasse der Wurzelfunktionen aus.

Von großem Interesse ist nun der größtmögliche Definitionsbereich

D_{f_{n}}

, der für diese Wurzelfunktionen möglich ist. Denn offenbar kommt es auf den Wurzelexponenten

n

an, welche Werte man für

x

in die Abbildungsvorschriften einsetzen darf, um reelle Werte als Ergebnisse zu erhalten. So erkennen wir, dass bei der Quadratwurzel

\sqrt{}

nur nicht-negative Werte ein reelles Ergebnis liefern. Betrachten wir allerdings die Kubikwurzel

\sqrt[3]{}

, so erhalten wir in diesem Fall, dass alle reellen Zahlen eingesetzt wieder reelle Zahlen als Ergebnis liefern, so etwa

\sqrt[3]{- 27} = - 3

. Allgemein gilt:

Info 6.3.4

Die Wurzelfunktionen

f_{n} : {\begin{matrix} D_{f_{n}} & \to & ℝ \\ x & ⟼ & \sqrt[n]{x} \end{matrix}

mit

n \in ℕ

und

n > 1

besitzen den größtmöglichen Definitionsbereich

D_{f_{n}} = [0; \infty)

falls

n

gerade ist und

D_{f_{n}} = ℝ

falls

n

ungerade ist.

Damit erhält man folgendes Aussehen für die Graphen der ersten vier Wurzelfunktionen

f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}

Aus dem Verlauf der Graphen sieht man, dass alle Wurzelfunktionen streng monoton wachsend sind.

Aufgabe 6.3.5
Bestimme für die Wurzelfunktionen

f_{n} : {\begin{matrix} D_{f_{n}} & \to & ℝ \\ x & ⟼ & \sqrt[n]{x} \end{matrix}

mit

n \in ℕ

n > 1

, den Wertebereich

W_{f_{n}}

, in Abhängigkeit davon ob

n

gerade oder ungerade ist.

Für die geradzahligen Wurzelfunktionen ergeben sich offenbar als Werte nur nicht-negative reelle Zahlen, denn nach den Potenzrechengesetzen kann

\sqrt{x}

\sqrt[4]{x}

\sqrt[6]{x}

, usw. für

x \geq 0

nie negativ werden. Die ungeradzahligen Wurzelfunktionen können auch alle negativen reellen Zahlen als Werte liefern. Tatsächlich gilt

\sqrt[3]{x} < 0

\sqrt[5]{x} < 0

, usw. genau dann wenn

x < 0

ist. Zusammenfassend gilt dann also unter Berücksichtigung der strengen Monotonie der Wurzelfunktionen

W_{f_{n}} = ℝ

falls

n

ungerade sowie

W_{f_{n}} = [0; \infty)

falls

n

gerade ist.