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Kapitel 6 Elementare Funktionen - Abschnitt 6.4 Exponentialfunktion und Logarithmus

6.4.2 Inhalt



Im vorangegangen Beispiel tritt eine Exponentialfunktion zur Basis a=2 auf, die Veränderliche - im Beispiel t - erscheint im Exponenten. Wir wollen nun die allgemeine Abbildungvorschrift für Exponentialfunktionen zu einer beliebigen Basis a angeben; dabei setzen wir allerdings a>0 voraus:

f:(0;)xf(x)=f0·aλx.

Dabei bezeichnen f0 und λ sogenannte Parameter der Exponentialfunktion, auf die wir weiter unten eingehen werden.

Der Definitionsbereich aller Exponentialfunktionen wird von allen reellen Zahlen gebildet, Df=, wohingegen der Wertebereich nur aus den positiven reellen Zahlen besteht (Wf=(0;)), da jedwede Potenz einer postiven Zahl nur positiv sein kann.

Aufgabe 6.4.2  
Warum setzt man bei den Exponentialfunktionen voraus, dass die Basis a größer Null sein soll?


Einige generelle Eigenschaften von Exponentialfunktionen können wir im folgenden Bild erkennen, in dem Exponentialfunktionen g:(0;), xg(x)=ax für verschiedene Werte von a gegenübergestellt sind:
./expo_vgl.png
Und was hat es nun noch mit den Parametern f0 und λ auf sich? Der Parameter f0 ist schnell erklärt: Setzt man den Wert x=0 für die Veränderliche in die allgemeinen Exponentialfunktionen f ein,

f(x=0)=f0·aλ·0=f0·a0=f0·1=f0,

so erkennt man, dass f0 eine Art Start- oder Anfangswert darstellt (zumindest falls man die Veränderliche x zeitlich interpretiert); der exponentielle Verlauf aλx wird generell mit dem Faktor f0 multipliziert und dementsprechend gewichtet, d.h. gestreckt (für |f0|>1) bzw. gestaucht (für |f0|<1).

Der Parameter λ im Exponenten heißt Wachstumsrate; er bestimmt, wie stark die Exponentialfunktion - bei gleichbleibender Basis - wächst (für λ>0) oder fällt (für λ<0).

Aufgabe 6.4.3  
Begründen Sie die Form der Exponentialfunktion f(t)=500·2(t/13), die im Beispiel 6.4.1 auftritt!