Kapitel 6 Elementare Funktionen - Abschnitt 6.5 Trigonometrische Funktionen

6.5.2 Die Sinusfunktion

In Modul 5 wurden die trigonometrischen Funktionen elementar im 5.6 über rechtwinklige Dreiecke durch

${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill \sin (\alpha )& \hfill =\hfill & \hfill \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\hspace{0.5em}.\hfill & \hfill \hfill & \hfill \hfill \end{array}}$



sowie am Einheitskreis erklärt. Ausgehend von dieser Definition von $\sin (\alpha )$ gelangt man zur Sinusfunktion, indem man den Winkel $\alpha$ zur Veränderlichen einer Funktion mit Namen $\sin$ macht. Man kann sich dies an Hand einer Familie von rechtwinkligen Dreiecken $ABC$ verdeutlichen, die dem Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius $r=1$, auf bestimmte Art und Weise einbeschrieben sind:

Beginnen wir mit dem Winkel $\alpha =0^{\circ }$, also einem zur Strecke entarteten Dreieck, so ist die Länge der Strecke $\overline{BC}$ gleich $0$. Lassen wir nun den Punkt $B$ entgegen dem Uhrzeigersinn um den Kreis wandern, so wächst $\alpha$ - und auch $\sin (\alpha )$ - zunächst an, bis für $\alpha ={90}^{\circ }$ ein maximaler Wert ($\sin ({90}^{\circ })=1$) erreicht wird, bevor $\alpha$ weiter zu-, aber $\sin (\alpha )$ wieder abnimmt. Für $\alpha ={180}^{\circ }$ ist das Dreieck $ABC$ wieder zur Strecke degeneriert, und $\sin ({180}^{\circ })=0$. Wird $\alpha$ noch größer, „klappt“ das Dreieck „nach unten“, die Stecke $\overline{BC}$ ist parallel zur negativen Hochachse ($y$-Achse) ausgerichtet, ihre Länge daher negativ. Für $\alpha ={270}^{\circ }$ tritt der maximal negative Wert auf, bevor er sich wieder $0$ nähert. Bei $\alpha ={360}^{\circ }$ beginnt das Spiel von Neuem. Das voranstehende Schaubild gibt den Graphen der Sinusfunktion,

${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill \sin :& \hfill ℝ& \hfill \to \hfill & [-1;+1]\hfill \\ \hfill & \hfill \alpha & \hfill ⟼\hfill & \sin (\alpha )\hspace{0.5em},\hfill \end{array}}$

wieder. Allerdings haben wir auf der Querachse ($\alpha$-Achse) den Winkel $\alpha$ nicht - wie in der bisherigen Diskussion - im Gradmaß aufgetragen, sondern wir haben das in diesem Zusammenhang üblichere Bogenmaß verwendet.

Halten wir einige der wichtigsten Eigenschaften der Sinusfunktion fest:

• Die Sinusfunktion ist auf ganz $ℝ$ definiert, $D_{\sin }=ℝ$; der Wertebereich besteht dagegen nur aus dem Intervall von $-1$ bis $+1$, diese beiden Endpunkte eingeschlossen: $W_{\sin }=[-1;+1]$
  
  
• Nach gewissen Abständen wiederholt der Graph der Sinusfunktion exakt sein Aussehen; man spricht in diesem Zusammenhang von der Periodizität der Sinusfunktion. Die Periode beträgt ${360}^{\circ }$ bzw. $2\pi$. Formelmäßig kann man diesen Sachverhalt als
  
  ${\displaystyle \sin (\alpha )=\sin (\alpha +2\pi )}$
  
  ausdrücken.
  
  

Schon die Betrachtung des Graphen der einfachen Sinusfunktion legt die Verwendung dieser Funktion für die Beschreibung von Wellenvorgängen nahe. Um jedoch die gesamte Leistungsfähigkeit der Sinusfunktion ausschöpfen zu können, werden zuvor noch einige zusätzliche Parameter eingeführt. So können die „Ausschläge“ der Sinusfunktion mit einem sogenannten Amplitudenfaktor $A$ verstärkt oder abgemildert, die „Schnelligkeit“ oder „Dichte“ der Auf- und Abbewegungen durch einen frequenzartigen Faktor $a$ beeinflusst und der gesamte Verlauf des Graphen kann mit einer Verschiebekonstanten $b$ nach rechts oder links verrückt werden. Die allgemeine Sinusfunktion besitzt daher folgende Gestalt:

${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill f:& \hfill ℝ& \hfill \to \hfill & [-A;+A]\hfill \\ \hfill & \hfill x& \hfill ⟼\hfill & f(x)=A\hspace{0.5em}\sin (ax+b)\hspace{0.5em}.\hfill \end{array}}$