Onlinebrückenkurs Mathematik Abschnitt 5.4.5 Flächeninhalt

Kapitel 5 Geometrie - Abschnitt 5.4 Vielecke, Flächeninhalt und Umfang

5.4.5 Flächeninhalt

Der Inhalt einer Fläche ist die Zahl der Einheitsquadrate, die man benötigt, um diese Fläche vollständig zu bedecken.

Zuerst sollen Rechtecke betrachtet werden. Wenn ein Rechteck eine Seite der Länge

a

und eine benachbarte Seite der Länge

b

hat, dann gibt es

b

Reihen mit

a

Einheitsquadraten, also

b \cdot a

Einheitsquadrate.

Fläche eines Rechtecks 5.4.10
Die Fläche

F

eines Rechtecks mit den Längen

a

und

b

benachbarter Seiten ist

F = b \cdot a = a \cdot b .

Damit lässt sich nun auch leicht der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Es sei

A B C

ein rechtwinkliges Dreieck, welches um

180^{\circ}

gedreht werde. Legt man anschließend das ursprüngliche und das neue Dreieck entlang der beiden Hypotenusen aneinander, so erhält man ein Rechteck.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist nun die Hälfte des Flächeninhaltes des Rechtecks, also

F = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

.

Und wie berechnet man die Fläche, wenn das Dreieck nicht rechtwinklig ist?

Aus jedem beliebigen Dreieck kann man zwei rechtwinklige Dreiecke gewinnen, indem man von einer Ecke aus eine Linie auf die gegenüberliegende Seite zieht, so dass sie diese senkrecht trifft. Diese Linie nennt man die Höhe

h_{i}

eines Dreiecks auf die bestimmte Seite

i

, wobei der Index

i

derjenigen Seite

a

b

oder

c

entspricht, über der die Höhe bestimmt wird.

Je nachdem, ob die neue Linie innerhalb oder außerhalb des Dreiecks liegt, ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks dann aus der Summe oder der Differenz der Flächeninhalte der beiden sich ergebenden rechtwinkligen Dreiecke:

Links gilt also (wenn

F_{Δ}

den Flächeninhalt des Dreiecks

Δ

bezeichnet)

F_{A B C} = F_{D B C} + F_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot h_{c} \cdot c_{2} + \frac{1}{2} \cdot h_{c} \cdot c_{1} = \frac{1}{2} \cdot h_{c} \cdot (c_{2} + c_{1}) = \frac{1}{2} \cdot h_{c} \cdot c .

Rechts gilt

F_{U V W} = F_{X V W} - F_{X U W} = \frac{1}{2} \cdot h_{w} \cdot w_{2} - \frac{1}{2} \cdot h_{w} \cdot w_{1} = \frac{1}{2} \cdot h_{w} \cdot (w_{2} - w_{1}) = \frac{1}{2} \cdot h_{w} \cdot w .

Somit kann der Flächeninhalt stets mittels einer Seitenlänge und der Länge der hierzu senkrechten Höhe berechnet werden.

Dreiecksfläche 5.4.11
Der Flächeninhalt

F_{A B C}

eines Dreiecks berechnet sich aus der Hälfte des Produkts der Länge einer Seite mit der Länge der zugehörigen Höhe des Dreiecks:

F_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{b} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} .

Dabei ist die Höhe eines Dreiecks auf einer Seite die Strecke, die von dem der Seite gegenüberliegenden Punkt ausgeht und die Gerade, auf der die Seite liegt, im rechten Winkel trifft.

Beispiel 5.4.12

Bei dem hier gezeigten Dreieck ist die Höhe gegeben, die zur Seite mit dem Wert

8,6

gehört. Bei den Angaben handelt es sich jeweils um gerundete numerische Werte. Der Flächeninhalt

F

des Dreiecks ist also rund

F = \frac{8,6 \cdot 5,5}{2} = 23,65 .

Aufgabe 5.4.13
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks:

An diesem Dreieck lässt sich eine Höhe leicht ablesen, und zwar die Höhe, die senkrecht auf der Seite steht, die auf der

x

-Achse liegt. Die Länge

h

dieser Höhe ist

h = 2

, und die Länge der genannten Seite ist

c = 5 - 1 = 4

. Damit ergibt sich der Flächeninhalt

F

des Dreiecks zu

F = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4

Mit der Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken lassen sich auch Flächen von anderen Vielecken - auch Polygone genannt - bestimmen. Denn jedes Vieleck kann in Dreiecke unterteilt werden, indem man so lange Diagonalen einzeichnet, bis die Teilflächen Dreiecke sind. Die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke ergibt den Flächeninhalt des Vielecks. Hier soll die Betrachtung jedoch auf einige einfache Formen beschränkt bleiben. Im folgenden Beispiel kann man das Vieleck in ein Dreieck und ein Rechteck zerlegen. Dadurch wird die Berechnung besonders einfach.

Beispiel 5.4.14

Man betrachte das rechts dargestellte Vieleck, ein Trapez. In diesem Beispiel kann man das Vieleck in ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

(a - c)

und

b

und der Hypotenuse

d

sowie ein Rechteck mit den Seiten

b

und

c

unterteilen.

Der Flächeninhalt des Polygons ist dann:

F = F_{Dreieck} + F_{Rechteck} = \frac{1}{2} (a - c) \cdot b + b \cdot c = \frac{1}{2} a b - \frac{1}{2} b c + b c = \frac{1}{2} (a + c) \cdot b .

Aufgabe 5.4.15

Berechnen Sie den Flächeninhalt des dargestellten Parallelogramms für

a = 4

und

h = 5

Man kann das Parallelogramm in das linke rote Dreieck, einem folgenden Rechteck und das rechte Dreieck aufspalten. Schneidet man das rote Dreieck aus und setzt es von rechts an das Parallelogramm, erhält man ein Rechteck mit den Seiten

a

und

h

. Der Flächeninhalt ergibt sich dann zu

F = a \cdot h = 4 \cdot 5 = 20 .

Zum Schluss sollen noch Kreisflächen berechnet werden. In 5.2.6 wurde bereits die Kreiszahl

π

vorgestellt, die das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmessung eines Kreises beschreibt. Auch in der Formel für den Flächeninhalt von Kreisen kommt die Kreiszahl vor.

Flächeninhalt eines Kreises 5.4.16
Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius

r

berechnet sich zu

F = π \cdot r^{2} .

Beispiel 5.4.17
Ein Kreis mit dem Radius habe einen Flächeninhalt von rund

12,566

. Hieraus lässt sich die Kreiszahl

π

näherungsweise berechnen: Aus

F = π \cdot r^{2}

folgt

π = \frac{F}{r^{2}}

. Mit den angegebenen Werten ergibt sich der Näherungswert

π = \frac{F}{r^{2}} \approx \frac{12,566}{4} = 3,1415 .