1.3.3 Aufgaben

Aufgabe 1.3.9
Vereinfachen Sie die folgenden Terme für geeignete Zahlen

a, b, x, y, z

$\frac{3 x - 6 x y^{2} + 4 x y z}{- 2 x}$ $=$

.

$\frac{3 x - 6 x y^{2} + 4 x y z}{- 2 x} = - \frac{3}{2} + 3 y^{2} - 2 y z .$
$(3 a - 2 b) \cdot (4 a - 6)$ $=$

.

$(3 a - 2 b) \cdot (4 a - 6) = 12 a^{2} - 18 a - 8 a b + 12 b .$
$(2 a + 3 b)^{2} - (3 a - 2 b)^{2}$ $=$

.

$(2a+3b)^2-(3a-2b)^2&=& (4a^2+12a b+9b^2)-(9a^2-12a b+4b^2)\ \\ &=& -5a^2+24a b+5b^2 \: .$
$\frac{3 a}{3 a + 6 b} + \frac{2 b}{a + 2 b}$ $=$

.
Summieren über den Hauptnenner ergibt $\frac{3 a}{3 a + 6 b} + \frac{2 b}{a + 2 b} = \frac{3 a}{3 a + 6 b} + \frac{6 b}{3 a + 6 b} = \frac{3 a + 6 b}{3 a + 6 b} = 1$ .

In den Eingaben dürfen keine Klammern mehr auftreten.

Aufgabe 1.3.10
Diese Aufgaben erfordern etwas mehr Durchhaltevermögen. Vereinfachen Sie:

$\frac{1}{2} x (4 x + 3 y) + \frac{3}{2} (5 x^{2} - 6 x y)$ $=$

.

$\frac{1}{2} x (4 x + 3 y) + \frac{3}{2} (5 x^{2} - 6 x y) = 2 x^{2} + \frac{3}{2} x y + \frac{15}{2} x^{2} - 9 x y = \frac{19}{2} x^{2} - \frac{15}{2} x y .$
$\frac{18 x^{2} - 48 x y + 32 y^{2}}{12 y - 9 x} \cdot \frac{18 x + 24 y}{9 x^{2} - 16 y^{2}}$ $=$

.
Vereinfachen des Ausdrucks ergibt

$\Mdfrac{18x^2-48x y+32y^2}{12y-9x}\cdot \Mdfrac{18x+24y}{9x^2-16y^2} & =& 4\cdot \Mdfrac{9x^2-24x y+16y^2}{4y-3x}\cdot \Mdfrac{3x+4y}{9x^2-16y^2}\\ & =& 4\cdot \Mdfrac{(3x-4y)^2}{4y-3x}\cdot \Mdfrac{3x+4y}{9x^2-16y^2}\\ & =& -4\cdot \Mdfrac{(3x-4y)^2}{3x-4y}\cdot \Mdfrac{3x+4y}{(3x+4y)(3x-4y)}=-4 \MDFPeriod$
$(a^{2} + 5 a - 2) (2 a^{2} - 3 a - 9) - (\frac{1}{2} a^{2} + 3 a - 5) (a^{2} - 4 a + 3)$ $=$

.

$(a^{2} + 5 a - 2) (2 a^{2} - 3 a - 9) - (\frac{1}{2} a^{2} + 3 a - 5) (a^{2} - 4 a + 3)$

$& = & 2a^4+10a^3-4a^2-3a^3-15a^2+6a-9a^2-45a+18\\&&\ \ \ \ \ \ -\left({\Mdfrac12a^4+3a^3-5a^2-2a^3-12a^2+20a+\Mdfrac32a^2+9a-15}\right)\ \\ \ \\ &= & \Mdfrac32a^4+6a^3-\Mdfrac{25}{2}a^2-68a+33 \MDFPeriod$

In den Eingaben dürfen keine Klammern mehr auftreten.

Aufgabe 1.3.11
Berechnen Sie mit Hilfe einer binomischen Formel:

$43^{2}$ $=$

.

$43^{2} = (40 + 3)^{2} = 40^{2} + 2 \cdot 40 \cdot 3 + 3^{2} = 1600 + 240 + 9 = 1849 .$
$97^{2}$ $=$

.

$97^{2} = (90 + 7)^{2} = 90^{2} + 2 \cdot 90 \cdot 7 + 7^{2} = 8100 + 1260 + 49 = 9409 .$
$41^{2} - 38^{2}$ $=$

.

$41^{2} - 38^{2} = (41 + 38) (41 - 38) = 79 \cdot 3 = 237 .$

Aufgabe 1.3.12
Wenden Sie eine binomische Formel an, um das Produkt aufzulösen, und fassen Sie das Ergebnis zusammen:

$(- 5 x y - 2)^{2}$ $=$

.

$(- 5 x y - 2)^{2} = (- 1)^{2} \cdot (5 x y + 2)^{2} = 25 x^{2} y^{2} + 20 x y + 4 .$
$(- 6 a b + 7 b c) (- 6 a b - 7 b c)$ $=$

.

$(- 6 a b + 7 b c) (- 6 a b - 7 b c) = (- 6 a b)^{2} - (7 b c)^{2} = 36 a^{2} b^{2} - 49 b^{2} c^{2} .$
$(- 6 a b + 7 b c) (- 6 a b + 7 b c)$ $=$

.

$(- 6 a b + 7 b c) (- 6 a b + 7 b c) = (- 6 a b + 7 b c)^{2} = 36 a^{2} b^{2} - 84 a b^{2} c + 49 b^{2} c^{2} .$
$(x^{2} + 3) (- x^{2} - 3)$ $=$

.

$(x^{2} + 3) (- x^{2} - 3) = - (x^{2} + 3)^{2} = - x^{4} - 6 x^{2} - 9 .$

In den Eingaben dürfen keine Klammern mehr auftreten.

Aufgabe 1.3.13
Faktorisieren Sie die folgenden Terme so weit wie möglich mit Hilfe einer binomischen Formel:

$4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ $=$

.

$4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} = (2 x + 3 y)^{2} .$
$64 a^{2} - 96 a + 36$ $=$

.

$64 a^{2} - 96 a + 36 = (8 a - 6)^{2} .$
$25 x^{2} - 16 y^{2} + 15 x + 12 y$ $=$

.

$25x^2-16y^2+15x+12y&=&(5x)^2-(4y)^2+3\cdot(5x+4y)\ \\ &=& (5x+4y)(5x-4y)+3\cdot(5x+4y)\ \\ &=& (5x+4y)(5x-4y+3) \: .$

Faktorisieren Sie die das Ergebnis so weit, dass es in die Eingabefelder passt.