4.2.3 Die Additionsmethode
Es soll noch ein weiteres, drittes, Verfahren zur rechnerischen Lösung von Linearen Gleichungssystemen
vorgestellt werden, das sein eigentliches Potential aber erst bei größeren Systemen, d.h. vielen linearen Gleichungen in
vielen Unbekannten entwickeln wird, da es sich sehr gut systematisieren lässt. Hier soll es um die prinzipielle
Vorgehensweise gehen. Zu Beginn wird ein Beispiel betrachtet:
Auch bei diesem Verfahren liegt das Vorgehen nicht eindeutig fest: So hätte man z.B. auch Gleichung mit
und Gleichung mit durchmultiplizieren können,
um bei der anschließenden Addition der Gleichungen und die Variable zu eliminieren:
Das Ergebnis für hätte man dann z.B. in Gleichung einsetzen können, um zu bestimmen:
Beispiel
4.2.12
Man sucht die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems
wobei als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen gewählt wird.
Diesmal wird zur Lösung folgender Weg eingeschlagen: Man multipliziert Gleichung mit dem Faktor durch und erhält eine zu Gleichung äquivalente Gleichung:
Anschließend addiert man die neue Gleichung zu Gleichung hinzu, d.h. man setzt die Summe der linken Seiten von und gleich der Summe der rechten Seiten von und . Dabei fällt die Unbekannte heraus; dies ist übrigens der Grund für die Wahl des Faktors im vorherigen Schritt:
Um den Lösungswert für zu bekommen, kann man das gerade erzielte Resultat für z.B. in Gleichung einsetzen:
Das Lineare Gleichungssystem des vorliegenden Beispiels besitzt also eine eindeutige Lösung, .
Man sucht die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems
wobei als Grundmenge die Menge der reellen Zahlen gewählt wird.
Diesmal wird zur Lösung folgender Weg eingeschlagen: Man multipliziert Gleichung mit dem Faktor durch und erhält eine zu Gleichung äquivalente Gleichung:
Anschließend addiert man die neue Gleichung zu Gleichung hinzu, d.h. man setzt die Summe der linken Seiten von und gleich der Summe der rechten Seiten von und . Dabei fällt die Unbekannte heraus; dies ist übrigens der Grund für die Wahl des Faktors im vorherigen Schritt:
Um den Lösungswert für zu bekommen, kann man das gerade erzielte Resultat für z.B. in Gleichung einsetzen:
Das Lineare Gleichungssystem des vorliegenden Beispiels besitzt also eine eindeutige Lösung, .
um bei der anschließenden Addition der Gleichungen und die Variable zu eliminieren:
Das Ergebnis für hätte man dann z.B. in Gleichung einsetzen können, um zu bestimmen:
Info
4.2.13
Bei der Additionsmethode wird eine der linearen Gleichungen durch geschickte Multiplikation mit einem geeigneten Faktor so umgeformt, dass bei der anschließenden Addition der anderen Gleichung (zumindest) eine Unbekannte herausfällt. (Manchmal ist es einfacher, beide Gleichungen vor der Addition mit passend gewählten Faktoren zu multiplizieren.) Wie im Fall der Einsetzmethode 4.2.7 (oder der 4.2.9) können in der Folge drei Fälle auftreten, die auf eine Lösungsmenge mit genau einem Element, keinem Element oder unendlich vielen Elementen führen.
Bei der Additionsmethode wird eine der linearen Gleichungen durch geschickte Multiplikation mit einem geeigneten Faktor so umgeformt, dass bei der anschließenden Addition der anderen Gleichung (zumindest) eine Unbekannte herausfällt. (Manchmal ist es einfacher, beide Gleichungen vor der Addition mit passend gewählten Faktoren zu multiplizieren.) Wie im Fall der Einsetzmethode 4.2.7 (oder der 4.2.9) können in der Folge drei Fälle auftreten, die auf eine Lösungsmenge mit genau einem Element, keinem Element oder unendlich vielen Elementen führen.