2. Differentialrechnung
  3. Rechenregeln
  4. Produkt und Quotient

7.3.3 Produkt und Quotient von Funktionen



Produkt- und Quotientenregel 7.3.3  
Auch das Produkt von Funktionen, f:=u·v mit f(x)=(u·v)(x):=u(x)·v(x), ist differenzierbar, und es gilt die Produktregel

f'(x)=u'(x)·v(x)+u(x)·v'(x) .



Der Quotient von Funktionen, f:= u v mit f(x)=( u v )(x):= u(x) v(x) , ist für alle x mit v(x)≠0 definiert und differenzierbar, und es gilt die Quotientenregel

f'(x)= u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x) (v(x))2  .



Auch diese Rechenregeln sollen anhand einiger Beispiele veranschaulicht werden:

Beispiel 7.3.4  
Gesucht ist die Ableitung von f:ℝ→ℝ mit f(x)= x2 ·ex . Anwenden der Produktregel mit (z.B.) u(x)= x2 und v(x)=ex führt auf u'(x)=2x und v'(x)=ex . Werden diese Teilergebnisse mit der Produktregel zusammengesetzt, dann resultiert die Ableitung der Funktion f:

f':ℝ→ℝ ,  x→f'(x)=2xex + x2 ex =( x2 +2x)ex  .

Als Nächstes soll die Tangensfunktion g mit g(x)=tan(x)= sin(x) cos(x) ( cos(x)≠0) untersucht werden. Durch Vergleich mit der Quotientenregel liest man u(x)=sin(x) und v(x)=cos(x) ab. Mit u'(x)=cos(x) und v'(x)=-sin(x) können die Teilergebnisse mit Hilfe der Quotientenregel zur Ableitung der Funktion g zusammengefügt werden; es folgt:

g'(x)= cos(x)·cos(x)-sin(x)·(-sin(x)) cos2 (x)  .

Dieses Ergebnis lässt sich zu einem der folgenden Ausdrücke zusammenfassen:

g'(x)=1+ ( sin(x) cos(x) )2 =1+ tan2 (x)= 1 cos2 (x)  .

Für das letzte Gleichheitszeichen wurde der in Modul 5 (Abschnitt 5.6.2) besprochene Zusammenhang sin2 (x)+ cos2 (x)=1 verwendet.


Aufgabe 7.3.5  
Berechnen Sie die Ableitung von f:ℝ→ℝ mit f(x)=sin(x)· x3 , indem Sie dieses Produkt in zwei Faktoren zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Produktregel zusammensetzen:
  1. Der linke Faktor u(x)  =  führt auf u'(x)  =  .

  2. Der rechte Faktor v(x)  =  führt auf v'(x)  =  .

  3. Für das Produkt f gilt daher f'(x)  =  .



Aufgabe 7.3.6  
Berechnen Sie die Ableitung von f: ]0;∞[ →ℝ mit f(x)= ln(x) x2 , indem Sie diesen Quotienten in Zähler und Nenner zerlegen, die Ableitungen bilden und diese mit Hilfe der Quotientenregel zusammensetzen:
  1. Der Zähler u(x)  =  führt auf u'(x)  =  .

  2. Der Nenner v(x)  =  führt auf v'(x)  =  .

  3. Für den Quotienten f gilt f'(x)  =  .