2. Geometrie
  3. Winkel und Winkelmessung
  4. Winkelmessung

5.2.3 Winkelmessung



Die Erklärung zur Bezeichnung des Winkel ∡(g,h), der durch Drehung von g gegen den Uhrzeigersinn zu h festgelegt wird, führt zu einer Idee, Winkel zu messen, das heißt quantitativ miteinander zu vergleichen.

So wie auf einem runden Ziffernblatt einer analogen Uhr die Markierungen zu den zwölf Zahlen für die Stunden im gleichen Abstand voneinander angebracht sind, kann man einen Kreis gleichmäßig einteilen. Auf diese Weise erhält man eine Skala für Winkel. Je nach der verwendeten Skalierung ergeben sich verschiedene Zahlen, mit denen die Größe eines Winkels angegeben werden kann.

Gradmaß  

Es wird eine Kreisscheibe in 360 gleiche Segmente eingeteilt. Eine Drehung um ein Segment beschreibt einen Winkel von 1 Grad. Hierfür wird 1 ∘ geschrieben. In der folgenden Zeichnung sind Winkel mit einem Gradmaß von 30 ∘ und Vielfachen davon dargestellt.

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Abbildung 5.2.8: Skizze  (C)



Bogenmaß   Bereits im antiken Babylonien, Ägypten und Griechenland stellte man fest, dass das Verhältnis des Umfangs U eines Kreises zu seinem Durchmesser D stets das gleiche ist, und somit Umfang und Durchmesser zueinander proportional sind. Dieses Verhältnis wird die Kreiszahl π genannt.
Kreiszahl 5.2.6  
Gegeben ist ein Kreis mit Umfang U und Durchmesser D. Die Kreiszahl ist

π= U D = U 2r

mit dem Kreisradius r= 1 2 D. Dabei ist π keine rationale Zahl. Sie kann nicht als endlicher oder periodischer Dezimalbruch geschrieben werden. Numerische Berechnungen ergeben, dass näherungsweise π≈3,141592653589793 ist.


Wenn der Radius des Kreises genau 1 ist, so hat der Kreis den Umfang 2π. Beim Bogenmaß wird die Linie eines Kreises vom Radius 1 eingeteilt. Als Bogenmaß eines Winkels ∡(g,h) wird die Länge des Kreisbogens verwendet, die durch den Winkel „ausgeschnitten“ wird.

Damit wird Winkeln durch das Bogenmaß eine Zahl zwischen 0 und 2π zugeordnet. In der Technik wird auch die Kennzeichnung rad (für Radiant) verwendet, um explizit auszudrücken, dass ein Winkel im Bogenmaß gemessen wird.

Bogenmaß 5.2.7  
Gegeben sind zwei Halbgeraden g und h, die vom gemeinsamen Punkt S ausgehen und den Winkel ∡(g,h) einschließen. Zeichnet man einen Kreis mit Radius  r=1 um  S, wird der Kreis von den beiden Halbgeraden in zwei Teile zerschnitten. Wichtig ist nun derjenige Kreisbogen x, auf dem man von der Halbgeraden g gegen den Uhrzeigersinn zur Halbgeraden h kommt (im Bild grün eingefärbt). Dies kann man auch so ausdrücken, dass der Scheitelpunkt S stets links liegt, wenn man sich auf dem Kreisbogen x von g in Richtung h bewegt.

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Abbildung 5.2.9: Skizze  (C)



Die Länge des Kreisbogens x ist das Bogenmaß des Winkels ∡(g,h).


Mit einem Winkelmaß wie dem Bogenmaß oder dem zuvor eingeführten Gradmaß kann man Winkel einfach in verschiedene Klassen einteilen und dafür eigene Namen vergeben. Zur Wiederholung werden auch bereits eingeführte Bezeichnungen nochmals mit aufgeführt.
Namen für verschiedene Klassen von Winkeln 5.2.8  
Für Winkel, deren Bogenmaß in einem bestimmten Bereich liegt, werden folgende Bezeichnungen eingeführt:
  • Ein Winkel mit einem Maß zwischen  0 und π 2 heißt spitzer Winkel.

  • Ein Winkel mit einem Maß von  π 2 heißt rechter Winkel.

  • Ein Winkel mit einem Maß zwischen  π 2 und π heißt stumpfer Winkel.

  • Ein Winkel mit einem Maß zwischen  π und  2π heißt überstumpfer Winkel.

Man sagt, zwei Halbgeraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.

Zwei Halbgeraden bilden eine Gerade, wenn sie einen Winkel vom Maß  π bilden.


Wenn man das Bogenmaß des Winkels ∡(g,h) kennt, kann man auch das Bogemaß des Winkels ∡(h,g) bestimmen. Aus der obigen Definition 5.2.7 ergibt sich, dass

∡(h,g)=2π-∡(g,h)

gilt. In der Zeichnung zur Definition 5.2.7 ist das Bogenmaß des Winkels ∡(h,g) die Länge des rot dargestellten Kreisbogens des Kreises mit dem Radius r=1.

Die Formulierungen der letzten Sätze klingen möglicherweise umständlich. Dies liegt vermutlich auch daran, dass genau zwischen Winkel und einem Maß, hier dem Bogenmaß, für den Winkel unterschieden wird.

Wenn es darum geht, einen gesuchten Wert zu berechnen, wird bei Strecken oft dieselbe Bezeichnung für die Strecke und ihre Länge verwendet. Dies ist meistens verständlich und hilft, einen Sachverhalt einfach zu beschreiben oder in einer Zeichnung darzustellen. Wichtig ist dabei, dass die verwendete Einheit bekannt ist oder explizit angegeben wird. Eine solche Vereinbarung, auch Konvention genannt, wird im Zusammenhang mit Winkeln ebenfalls oft verwendet, wenn aus dem Zusammenhang verständlich wird, dass es um die Berechnung eines Wertes in einem bestimmten Winkelmaß geht.

Konvention 5.2.9  
Wenn eine Berechnung unabhängig von einem bestimmten Winkelmaß ist oder dieses vorab festgelegt wurde, wird in Rechnungen auch kurz vom Winkel gesprochen und dieselbe Bezeichnung für den Winkel und seinen Wert im gewählten Winkelmaß verwendet.
In diesem Sinne kann dann beispielsweise ∡(g,h)=90 ∘ geschrieben und vom rechten Winkel ∡(g,h) gesprochen werden, der von Geraden g und h eingeschlossen wird. Dies gilt entsprechend, wenn das Bogenmaß verwendet wird.

Ein Wert eines Winkels im Gradmaß kann in das Bogenmaß umgerechnet werden (und umgekehrt), indem man die Verhältnisse der Maßzahlen eines Winkels zum Wert des Vollwinkels im jeweiligen Winkelmaß betrachtet. Die Umrechnung zwischen Bogenmaß und Gradmaß wird im Folgenden beschrieben.

Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Gradmaß 5.2.10  
Es werden Halbgeraden g und h betrachtet, die den Winkel ∡(g,h) einschließen. Das Bogenmaß des Winkels wird mit x bezeichnet und das Gradmaß des Winkels mit α.

Dann ist der Anteil x von 2π gleich dem Anteil α von 360 ∘ und damit:

x 2π = α 360 ∘  .

Somit ist

x= π 180 ∘ ·α    und    α= 180 ∘ π ·x .

Deshalb sind die Angaben im Bogenmaß und im Gradmaß zueinander proportional, sodass die Umrechnung mit dem jeweiligen Proportionalitätsfaktor π 180 ∘ beziehungsweise 180 ∘ π sehr einfach ist.

Aufgabe 5.2.11  
Der Winkel ∡(g,h) beträgt im Gradmaß 60 ∘ . Rechnen Sie den Winkel in das Bogenmaß um:

∡(g,h)= .

Ein  π geben Sie als pi ein. Sie können Ihr Ergebnis auch auf drei Nachkommastellen gerundet angeben.





Aufgabe 5.2.12  
Der Winkel β beträgt im Bogenmaß π/4. Wie groß ist der Winkel im Gradmaß?

β= ∘ .



Aufgabe 5.2.13  
Es werden sechs Winkel α1 bis α6 betrachtet, von denen jeweils der Wert im angegebenen Winkelmaß bekannt ist. Berechnen Sie den Wert im anderen genannten Winkelmaß.

α1 α2 α3 α4 α5 α6
Bogenmaß π 2π 3 11π 12
Gradmaß 324 ∘ 270 ∘ 30 ∘


Ein π geben Sie als pi ein. Sie können Ihr Ergebnis auch auf drei Nachkommastellen gerundet angeben.