2. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem
  3. Geraden in der Ebene
  4. Lagebeziehungen

9.2.3 Lagebeziehungen von Geraden



Während es im vorigen Abschnitt 9.2.2 darum ging, Geraden mittels Koordinatengleichungen zu beschreiben und Gleichungen für Geraden, die mittels vorgegebener Daten festgelegt sind, zu finden, widmet sich dieser Abschnitt der Untersuchung der relativen Lage von Geraden, welche durch Gleichungen vorgegeben sind, zueinander und zu weiteren gegebenen Punkten. Letzteres ist relativ einfach, da ein Punkt nur auf einer Gerade liegen kann oder nicht:

Info 9.2.12  
 
Ist

g={(x;y) : px+qy=c}

eine Gerade und P=(a;b) ein Punkt im ℝ2 , so liegt P genau dann auf der Geraden ( P∈g), wenn seine Abszisse und Ordinate die Geradengleichung erfüllen, also wenn

pa+qb=c

gilt.


Mit Hilfe einer Geradengleichung kann man also testen, ob Punkte auf der Geraden liegen oder nicht.

Beispiel 9.2.13  
Für die Gerade

h: x+2y=-1

gilt zum Beispiel, dass A= (-2; 1 2 ) auf h liegt, da x=-2 und y= 1 2 die Geradengleichung erfüllen:

-2+2· 1 2 =-2+1=-1 .

Allerdings liegt zum Beispiel B=(1;1) nicht auf h, da x=1 und y=1 die Geradengleichung nicht erfüllen:

1+2·1=3≠-1 .

Bild hierzu:
./_F5C6F228_4x.png
Abbildung 9.2.20: Skizze  (C)



Aufgabe 9.2.14  
Entscheiden Sie jeweils durch Rechnung, ob die angegebenen Punkte auf der Geraden liegen. Kreuzen Sie die Punkte auf der Geraden an.


g: 2x-4( y 2 +x)+2y=-3:


Richtig   Falsch    P=(1,5;2)
Richtig   Falsch    Q= (- 3 2 ;-4 )
Richtig   Falsch    R=(0,5;0)
Richtig   Falsch    S= ( 9 6 ;0 )
Richtig   Falsch    T=(0;-π)








Für die Lagebeziehung zweier Geraden gibt es mehr Möglichkeiten:

Info 9.2.15  
 
Sind g und h zwei Geraden in der Ebene, gegeben durch Geradengleichungen bezüglich eines Koordinatensystems, so trifft stets genau eine der folgenden Lagebeziehungen der Geraden zueinander zu:
  1. Die Geraden g und h haben genau einen Punkt gemeinsam, sie schneiden sich also. Der gemeinsame Punkt heißt Schnittpunkt.

  2. Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall sind die Geraden parallel.

  3. Die Geraden g und h sind identisch. In diesem Fall haben die Geraden alle Punkte gemeinsam.



Die letzte dieser Möglichkeiten, klingt zunächst etwas seltsam. Man fragt sich, wieso es zwei Bezeichnungen ( g und h) für etwas gibt, was eigentlich nur eine Gerade ist. Man mache sich in diesem Zusammenhang aber klar, dass unterschiedliche Geradengleichungen genau die gleiche Gerade beschreiben können, wenn die Geradengleichungen durch Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen. So ist es durchaus möglich, dass man mit g und h zwei Beschreibungen (durch unterschiedliche, aber äquivalente Gleichungen) ein und der selben Geraden vorliegen hat, dies aber eventuell nicht sofort ersichtlich ist, sondern die Gleichungen dafür genauer untersucht werden müssen. Dies zeigt auch nochmals das folgende Beispiel:

Beispiel 9.2.16  
  1. Die Geraden g: y=2x-1 und h: y=x+1 schneiden sich. Ihr einziger gemeinsamer Punkt ist der Schnittpunkt S=(2;3):
    ./_C68AD547_4x.png
    Abbildung 9.2.22: Skizze  (C)



  2. Die Geraden g: y= 1 2 x-1 und h: x-2y=-2 schneiden sich nicht. Sie sind parallel:
    ./_04249A3B_4x.png
    Abbildung 9.2.23: Skizze  (C)



  3. Die Geraden g: y= 1 3 x+1 und h: 2x-6y=-6 sind identisch, denn die beiden Geradengleichungen gehen durch Äquivalenzumformungen auseinander hervor:

    y= 1 3 x+1  ⇔  y- 1 3 x=1  |·(-6)  ⇔  2x-6y=-6

    ./_DFEDABBA_4x.png
    Abbildung 9.2.24: Skizze  (C)







Die Methoden zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden, sind die Methoden zum Lösen von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (in diesem Fall sind dies die Geradengleichungen), die in Kapitel 4 ausführlich behandelt wurden. Insbesondere wurde auch der geometrische Aspekt des Schnittpunkts von Geraden in diesem Zusammenhang in Abschnitt 4.2 bereits ausführlich behandelt. Deshalb sei an dieser Stelle für die Methoden der Schnittpunktbestimmung auf ebendiesen Abschnitt 4.2 verwiesen, und dessen kurze Wiederholung wird hier wärmstens empfohlen.

Liegen zwei Geradengleichungen allerdings in Normalform vor, kennt man also ihre Steigungen und Achsenabschnitte, so kann man (ohne Rechnung) direkt eine Aussage darüber treffen, welche der drei relativen Lagebeziehungen aus Infobox 9.2.15 auf die beiden Geraden zutrifft:

Info 9.2.17  
 
Sind zwei Geraden g und h in der Ebene mittels Geradengleichungen in Normalform bezüglich eines Koordinatensystems gegeben, so gilt:
  1. Falls die Steigungen von g und h unterschiedlich sind, schneiden sich die beiden Geraden.

  2. Falls die Steigungen von g und h gleich sind, ihre Achsenabschnitte aber unterschiedlich, so sind die beiden Geraden parallel.

  3. Falls die Steigungen und die Achsenabschnitte von g und h gleich sind, sind die beiden Geraden identisch.





Aufgabe 9.2.18  
Entscheiden Sie jeweils durch Rechnung, ob und wie die gegebenen Geraden sich schneiden. Kreuzen Sie entsprechend an und tragen Sie die Schnittpunkte für die sich schneidenden Geraden ein. Skizzieren Sie die Geradenpaare.
  1. f: y=x-2 und g: y=2-x:
    Richtig   Falsch   Keinen Schnittpunkt (parallel),
    Richtig   Falsch   identische Geraden,
    Richtig   Falsch   einen Schnittpunkt.


  2. f: y=1-x und g: y=4·(3x+1)-x-3:
    Richtig   Falsch   Keinen Schnittpunkt (parallel),
    Richtig   Falsch   identische Geraden,
    Richtig   Falsch   einen Schnittpunkt.


  3. f: y=4(x+1)-x-1 und g: y=3x-3:
    Richtig   Falsch   Keinen Schnittpunkt (parallel),
    Richtig   Falsch   identische Geraden,
    Richtig   Falsch   einen Schnittpunkt.


  4. f: y=5x-2 und g: y=(2x+1)+(3x-3):
    Richtig   Falsch   Keinen Schnittpunkt (parallel),
    Richtig   Falsch   identische Geraden,
    Richtig   Falsch   einen Schnittpunkt.


 
Der erste Schnittpunkt ist , der zweite Schnittpunkt ist .