Online-Brückenkurs Mathematik Abschnitt 8.1.3 Aufgaben

Aufgabe 8.1.11
Geben Sie eine Stammfunktion an:

$\int (12 x^{2} - 4 x^{7}) d x$ $=$

.
Es ist

$\int \left(12 x^2 - 4 x^7\right) \MD x % = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot x^3 - 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot x^8 % = 4 \cdot x^3 - \frac{1}{2} \cdot x^8 + C\MDFPeriod %$
$\int (\sin (x) + \cos (x)) d x$ $=$

.
Es ist

$\int \left(\sin(x) + \cos(x)\right) \MD x % = -\cos(x) + \sin(x) + C % = \sin(x) - \cos(x) + C\MDFPeriod %$
$\int \frac{1}{6 \sqrt{x}} d x$ $=$

.
Es ist $\frac{1}{6 \sqrt{x}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{6} \cdot x^{- \frac{1}{2}}$ . Somit ist

$\int \frac{1}{6 \sqrt{x}} \MDwSp x % = \frac{1}{6} \cdot \int x^{-\frac{1}{2}} \MDwSp x % = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} \cdot x^{-\frac{1}{2} + 1} + C % = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + C % = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{x} + C\MDFPeriod %$

Aufgabe 8.1.12
Bestimmen Sie eine Stammfunktion:

$\int e^{x + 2} d x$ $=$

.
Es ist $\int e^{x + 2} d x = \int e^{x} \cdot e^{2} d x = e^{2} \cdot \int e^{x} d x = e^{2} \cdot e^{x} + C = e^{x} \cdot e^{2} + C = e^{x + 2} + C$ .
$\int 3 x \cdot \sqrt[4]{x} d x$ $=$

.
Es ist $\int 3 x \cdot \sqrt[4]{x} d x = 3 \cdot \int x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x = 3 \cdot \int x^{\frac{5}{4}} d x = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot x^{\frac{9}{4}} + C = \frac{4}{3} \cdot x^{\frac{9}{4}} + C$ .

Die Exponentialfunktion

e^{3 x^{4} + 5}

wird als exp(3 * x^4 + 5) angegeben,

\ln (\sqrt{x} + 3.2)

durch ln(sqrt(x) + 3.2).

Aufgabe 8.1.14
Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu

$f (x) : = \frac{8 x^{3} - 6 x^{2}}{x^{4}}$ ,
$g (x) : = \frac{18 x^{2}}{3 \sqrt{x^{5}}}$ ,
$h (x) : = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{4 x}$ ,

für

x > 0

, nachdem Sie die Funktionsterme als gekürzte Summen von Brüchen geschrieben haben:

Mit der Vereinfachung $f (x)$ $=$

ergibt sich $F (x)$ $=$

für $x > 0$ .

Der Funktionsterm lässt sich zu $f (x) = \frac{8}{x} - \frac{6}{x^{2}} = \frac{8}{x} - 6 x^{- 2}$ vereinfachen, was auf

$F(x) \;=\; 8 \cdot \ln(x) + \frac{6}{x} %$
für $x > 0$ führt (bis auf eine Konstante).
Mit der Vereinfachung $g (x)$ $=$

ergibt sich $G (x)$ $=$

für $x > 0$ .

Der Funktionsterm lässt sich zu $g (x) = \frac{6}{\sqrt{x}} = 6 \cdot x^{- \frac{1}{2}}$ vereinfachen, was auf

$G(x) \;=\; 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} = 12 \cdot \sqrt{x} %%$
für $x > 0$ führt (bis auf eine Konstante).
Mit der Vereinfachung $h (x)$ $=$

ergibt sich $H (x)$ $=$

für $x > 0$ .

Der Funktionsterm lässt sich zu $h (x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}$ vereinfachen, was auf

$H(x) \;=\; \frac{1}{4} \cdot x + \sqrt{x} %%$
für $x > 0$ führt (bis auf eine Konstante).

Schreiben Sie beispielsweise

\sqrt{x}

als sqrt(x).

Aufgabe 8.1.15
Gegeben ist eine Funktion

f

mit

f (x) = \frac{1}{x}

für

x > 0

. Weiter sind Funktionen

F_{1}

und

F_{2}

mit

F_{1} (x) = \ln (7 x)

bzw.

F_{2} (x) = \ln (x + 7)

für

x > 0

gegeben. Berechnen Sie die Ableitung von

F_{1}

und von

F_{2}

, und beantworten Sie die Frage ob, es sich um Stammfunktionen von

f

handelt:

Es ist:

F_{1}' (x)

=

und

F_{2}' (x)

=

.

Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:

Richtig

Falsch

F_{1}

ist eine Stammfunktion von

f

.
Richtig

Falsch

F_{2}

ist eine Stammfunktion von

f

.

Die Ableitung von

F_{1}

mit

F_{1} (x) = \ln (7 x)

für

x > 0

ist

F_{1}' (x) = \frac{1}{7 x} \cdot 7 = \frac{1}{x} = f (x)

. Somit ist

F_{1}

eine Stammfunktion von

f

.

Die Funktion

F_{2}

mit

F_{2} (x) = \ln (x + 7)

für

x > 0

hat die Ableitung

F_{2}' (x) = \frac{1}{x + 7} \cdot 1 = \frac{1}{x + 7} \neq \frac{1}{x}

für alle

x > 0

. Deshalb ist

F_{2}

keine Stammfunktion von

f

.

Aufgabe 8.1.16
Es wird angenommen, dass

F

eine Stammfunktion von

f

mit

f (x) = 1 + x^{2}

ist und

F

den Funktionswert

F (0) = 1

hat. Dann ist

F (3)

=

.

Nach Voraussetzung ist

F

eine Stammfunktion von

f

mit

f (x) = 1 + x^{2}

. Somit gilt

F' (x) = f (x) = 1 + x^{2} = x^{0} + x^{2}

, woraus

F(x) = \frac{1}{0 + 1} \cdot x^{0+1} + \frac{1}{2 + 1} \cdot x^{2 + 1} + C % = x + \frac{1}{3} \cdot x^3 + C %%

für eine Zahl

C

folgt. Außerdem soll

F (0) = 1

gelten, sodass

1 = F (0) = 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + C = C

ist. Damit erhält man

F (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{3} + x + 1

. Einsetzen von

x = 3

ergibt den gesuchten Wert

F (3) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3 + 1 = 13

.

richtig?	Aussage:
Richtig Falsch	$F$ mit $F (x) = - \frac{\cos (π x) + 2}{π}$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f (x) = \sin (π x) + 2$ .
Richtig Falsch	$F$ mit $F (x) = - \frac{\cos (π x) + 2}{π}$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f (x) = \sin (π x)$ .
Richtig Falsch	$F$ mit $F (x) = - 7$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f (x) = - 7 x$ für $x \in ℝ$ .
Richtig Falsch	$F$ mit $F (x) = (\sin (x {))}^{2}$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $f (x) = 2 \sin (x) \cos (x)$ .
Richtig Falsch	Wenn $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, $G$ eine Stammfunktion von $g$ , dann ist $F + G$ ist eine Stammfunktion von $f + g$ .

Online-Brückenkurs Mathematik

1 Elementares Rechnen

2 Gleichungen in einer Unbekannten

3 Ungleichungen in einer Unbekannten

4 Lineare Gleichungssysteme

5 Geometrie

6 Elementare Funktionen

7 Differentialrechnung

8 Integralrechnung

9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11 Grundlagen aus der Stochastik (Optional)

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