8.2.5 Aufgaben



In der ersten Aufgabe wird die Idee zur Definition des Integrals aufgegriffen, mittels geeigneter Zerlegungen den Integralwert zu berechnen, wobei in der Aufgabe neben Rechtecken allgemeiner beispielsweise auch Dreiecksflächen verwendet werden.

Aufgabe 8.2.16  
Berechnen Sie zu f:[-3;4] mit dem unten dargestellten Graphen das Integral -3 4 f(x)dx mit Methoden aus der elementaren Geometrie, indem Sie die entsprechende Fläche „unter dem Graphen der Funktion“ in elementare geometrische Flächen wie Dreiecke oder Rechtecke zerlegen, die entweder oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen. Die einzelnen Flächeninhalte können Sie in dieser Situation dann mit Formeln für Dreiecke oder Rechtecke berechnen.

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Abbildung 8.2.4: Skizze  (C)

Der Integralwert ergibt sich dann als Summe der Teilflächen, die oberhalb der x-Achse liegen, abzüglich der Summe der Teilflächen, die unterhalb der x-Achse liegen. In diesem Sinne kann man den Integralwert als die Summe vorzeichenbehafteter Flächenwerte verstehen.

Der Integralwert von -3 4 f(x)dx ist .



Aufgabe 8.2.17  
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
  1. 0 5 3dx = ,

  2. 0 5 -4dx = ,

  3. 0 4 2xdx = ,

  4. 0 4 (4-x)dx = .



Aufgabe 8.2.18  
Der Wert des Integrals -π π (5 x3 -4sin(x))dx ist .


Aufgabe 8.2.19  
Berechnen Sie eine reelle Zahl z so, dass der Integralwert

0 2 ( x2 +z·x+1)dx

den Wert 0 ergibt: Der Wert für z ist z = .



Aufgabe 8.2.20  
Berechnen Sie die Integrale:
  1. -3 2 (1+6 x2 -4x)dx = ,

  2. 1 9 5 4x dx = .





Aufgabe 8.2.21  
Der Wert des Integrals -24 -6 1 2x dx ist .



Aufgabe 8.2.22  
Berechnen Sie die Integrale
  1. 0 3 (2x-1)dx = ,

  2. -3 0 (1-2x)dx = .





Aufgabe 8.2.23  
Berechnen Sie das Integral

π 3π ( 3π x2 -4sin(x))dx = .