2. Ungleichungen in einer Unbekannten
  3. Ungleichungen und ihre Lösungsmengen
  4. Spezielle Umformungen

3.1.3 Spezielle Umformungen

Die folgenden Äquivalenzumformungen sind nützlich, wenn die Unbestimmte im Nenner eines Ausdrucks auftritt. Sie dürfen aber nur unter bestimmten Voraussetzungen eingesetzt werden:

Info 3.1.9  
 
Unter der Vorbedingung, dass keiner der beteiligten Nenner den Wert Null annimmt (diese Fälle sind prinzipiell keine Lösungen) und dass beide Brüche das gleiche Vorzeichen haben, darf man auf beiden Seiten der Ungleichung den Kehrwert nehmen und dabei das Vergleichssymbol umdrehen.


Beispiel 3.1.10  
Beispielsweise ist die Ungleichung 1 2x ≤ 1 3x äquivalent zu 2x≥3x (Vergleichssymbol wurde gedreht) sofern x≠0 ist. Die neue Ungleichung hat die Lösungsmenge ]-∞;0], aber da der Fall x=0 ausgeschlossen wurde (und er auch nicht zur Definitionsmenge der ursprünglichen Ungleichung gehört) ist L= ]-∞;0[ die Lösungsmenge von 1 2x ≤ 1 3x .


Aufgabe 3.1.11  
Wie lauten die Lösungsintervalle dieser Ungleichungen?
  1. 1 x ≥ 1 3 besitzt die Lösungsmenge L  =  .

  2. 1 x < 1 x besitzt die Lösungsmenge L  =  .







Beim letzten Aufgabenteil ist zu beachten:

Info 3.1.12  
 
Das Quadrieren einer Ungleichung auf beiden Seiten ist keine Äquivalenzumformung und verändert unter Umständen die Lösungsmenge.


Beispielsweise ist x=-2 keine Lösung von x>x, aber sehr wohl von x2 >x. Diese Umformung darf man dennoch einsetzen, wenn man eine richtig formulierte Fallunterscheidung für die Umformung ansetzt und die Definitionsmenge der ursprünglichen Ungleichung beachtet. Diese Technik wird im nächsten Abschnitt genauer betrachtet.