2. Integralrechnung
  3. Bestimmtes Integral
  4. Rechenregeln

8.2.3 Rechenregeln



Zerlegung des Integrationsintervalls eines Integrals 8.2.5  
Sei f:[a;b]→ℝ eine integrierbare Funktion. Dann gilt für jede Zahl z zwischen a und b

∫a b f(x) dx= ∫a z f(x) dx+ ∫z b f(x) dx .



Mit der Festlegung

∫d c f(x) dx:=- ∫c d f(x) dx

gilt die obige Regel für alle reellen Zahlen z, für die die beiden rechts stehenden Integrale existieren, auch wenn z nicht zwischen a und b liegt. Bevor obige Rechenregel an einem Beispiel erläutert wird, wird die genannte Festlegung noch ausführlich notiert.

Vertauschung der Grenzen eines Integrals 8.2.6  
Sei f:[a;b]→ℝ eine integrierbare Funktion. Dann wird das Integral der Funktion f von b bis a gemäß

∫b a f(x) dx=- ∫a b f(x) dx

berechnet.


Die oben beschriebene Rechenregel ist praktisch, um Funktionen mit Beträgen oder andere abschnittsweise definierte Funktionen zu integrieren.

Beispiel 8.2.7  
Das Integral der Funktion f:[-4;6]→ℝ,x↦|x| ist

∫-4 6 |x| dx = ∫-4 0 (-x) dx+ ∫0 6 x dx = [- 1 2 x2 ]-4 0 + [ 1 2 x2 ]0 6 = (0-(-8))+(18-0) = 26 .



Die Integration über die Summe zweier Funktionen kann ebenfalls in zwei Integrale zerlegt werden:

Summen- und Faktorregel 8.2.8  
Seien f und g auf [a;b] integrierbare Funktionen und r eine reelle Zahl. Dann gilt

∫a b (f(x)+g(x)) dx= ∫a b f(x) dx+ ∫a b g(x) dx . (8.2.2)


Für Vielfache einer Funktion gilt

∫a b r·f(x) dx=r· ∫a b f(x) dx . (8.2.3)




Aufgabe 8.2.11  
Es soll das Integral I= ∫1 4 x·ex  dx berechnet werden: I= .



Aufgabe 8.2.12  
Es soll das Integral I= ∫1 8 x·ln(x) dx berechnet werden: I= .