2. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie
  3. Geraden und Ebenen
  4. Geraden Ebene Raum

10.2.2 Geraden in der Ebene und im Raum

In Kapitel 9 wurden Geraden in der Ebene mittels Koordinatengleichungen für die Punkte auf den Geraden bezüglich eines festen Koordinatensystems beschrieben. Zum Beispiel ist in dieser Beschreibung eine Gerade g mit Steigung 1 2 und Achsenabschnitt 1 gegeben als Punktmenge

g={(x;y)∈ℝ2  : y= 1 2 x+1} ,

wofür man oft kurz auch nur die Koordinatengleichung (hier in Normalform) angibt:

g:y= 1 2 x+1 .

Das folgende Bild zeigt die Gerade:
./_214F4BF8_4x.png
Abbildung 10.2.3: Skizze  (C)



Im Folgenden sollen die Punkte auf der Geraden nun durch ihre zugehörigen Ortsvektoren beschrieben werden. Die nachstehende Überlegung führt auf diese Beschreibung: Die Punkte (x;y) auf der obigen Geraden g erfüllen die Gleichung

y= 1 2 x+1

für ihre Koordinaten. Man kann diese Gleichung für die y-Koordinaten in die Punkte einsetzen und erhält, dass die Gerade g durch Punkte der Form (x; 1 2 x+1 ) mit x∈ℝ gebildet wird. Die zu diesen Punkten gehörenden Ortsvektoren sollen mit r → bezeichnet sein. Dann gilt

r → =( x 1 2 x+1 )=x( 1 1 2 )+( 0 1 )

mit x∈ℝ. Das heißt die Gerade g kann unter Benutzung von Ortsvektoren auch beschrieben werden mittels

g: r → =x( 1 1 2 )+( 0 1 ) ,  x∈ℝ .

Mit anderen Worten, die Punkte auf g werden gebildet durch die Summe des Vektors a → =( 0 1 ) und allen möglichen Vielfachen des Vektors u → =( 1 1 2 ), also allen zu ( 1 1 2 ) kollinearen Vektoren. Das folgende Bild stellt diese Sichtweise auf Geraden dar:

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Abbildung 10.2.4: Skizze  (C)



Die nächste Infobox stellt die wichtigsten Begriffe, Methoden und Konzepte zu dieser als Punkt-Richtungsform oder Parameterform bezeichneten Darstellungsweise von Geraden zusammen.

Info 10.2.2  
 
  • Eine Gerade g in der Ebene ist in Punkt-Richtungsform oder Parameterform gegeben als Menge von Ortsvektoren

    g={ r → =λ u → + a → ∈ℝ2  : λ∈ℝ} ,

    oft kurz geschrieben als

    g: r → =λ u → + a →  ,  λ∈ℝ .

    Hierbei wird λ als Parameter, a → als Aufpunktvektor und u → ≠ O → als Richtungsvektor der Geraden bezeichnet. Die Ortsvektoren r → zeigen dann zu den einzelnen Punkten auf der Geraden. Der Aufpunktvektor a → ist der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Geraden, der als Aufpunkt bezeichnet wird. Die Vielfachen λ u → von u → sind alle Vektoren, die kollinear zu u → sind:

    ./_ED0679A1_4x.png
    Abbildung 10.2.5: Skizze  (C)



  • Für eine Gerade g, die durch Angabe einer Geradengleichung in Normalform

    g:y=mx+b

    vorliegt, kann eine Punkt-Richtungsform angegeben werden, indem die Ortsvektoren ( x mx+b )=x( 1 m )+( 0 b ) gebildet werden. Die Punkt-Richtungsform lautet dann

    g: r → =x( 1 m )+( 0 b ) ,  x∈ℝ

    mit dem Richtungsvektor u → =( 1 m ) und dem Aufpunktvektor a → =( 0 b ).

  • Für eine Gerade g, die in Parameterform

    g: r → =λ u → + a →  ,  λ∈ℝ

    vorliegt, kann eine zugehörige Geradengleichung folgendermaßen ermittelt werden: Der Richtungsvektor u → =( ux uy ) liefert durch Anlegen eines Steigungsdreiecks sofort die Steigung der Geraden. Es gilt

    m= uy ux  .

    ./_FA8973CB_4x.png
    Abbildung 10.2.6: Skizze  (C)

    (Hierfür muss ux ≠0 sein. Der Spezialfall ux =0 wird im Beispiel unten behandelt.) Nach den Methoden aus Abschnitt 9.2.2 benötigt man zur Angabe der Geradengleichung in Normalform nun nur noch einen Punkt auf der Geraden, aus dem man den Achsenabschnitt b bestimmt. Hierfür benutzt man am einfachsten den Aufpunktvektor a → .





Man stellt hier sofort fest, dass die Parameterform einer Geraden nicht eindeutig ist. Als Aufpunkt kann jeder Punkt auf der Geraden dienen, und auch als Richtungsvektor hat man beliebig viele kollineare Vektoren zur Auswahl. So wird zum Beispiel die Gerade g mit der Koordinatengleichung

g: 1 2 x+1

aus dem einführenden Beispiel nicht nur durch

g: r → =x( 1 1 2 )+( 0 1 ) ,  x∈ℝ

in Parameterform dargestellt, sondern auch durch

g: r → =λ( 2 1 )+( 2 2 ) ,  λ∈ℝ

oder

g: r → =ν( -2 -1 )+( -2 0 ) ,  ν∈ℝ .

Oft benutzt man Darstellungen mit einem möglichst einfachen Richtungsvektor. Es sollte nur darauf geachtet werden, dass bei Darstellungen der gleichen Geraden mittels unterschiedlicher Richtungs- oder Aufpunktvektoren jeweils andere Variablen für den Parameter verwendet werden, da gleiche Parameterwerte in unterschiedlichen Darstellungen zu unterschiedlichen Punkten auf der Geraden führen. So ergibt beispielsweise der Parameterwert λ=1 in der entsprechenden obigen Parameterform für g den Punkt

1·( 2 1 )+( 2 2 )=( 4 3 )

auf g, der Parameterwert ν=1 der entsprechenden obigen Parameterform für g den Punkt

1·( -2 -1 )+( -2 0 )=( -4 -1 )

auf g.

Das folgende Beispiel zeigt einige Anwendungen der Punkt-Richtungsform.

Beispiel 10.2.3  
  • Für die Gerade g in der Ebene, welche durch die Geradengleichung

    g:2y-3x=6

    gegeben ist, sollen zwei verschiedene Parameterformen ermittelt werden.

    Zunächst wird die Geradengleichung auf Normalform gebracht:

    2y-3x=6  ⇔  y= 3 2 x+3 .

    Punkte auf g haben also die Form (x; 3 2 x+3 ) mit x∈ℝ, welche durch Ortsvektoren ( x 3 2 x+3 ) mit x∈ℝ beschrieben werden. Folglich ist eine mögliche Parameterform durch

    g: r → =x( 1 3 2 )+( 0 3 ) ,  x∈ℝ

    gegeben. Für eine andere Parameterform können ein beliebiger anderer Richtungsvektor, der kollinear zu ( 1 3 2 ) ist, und ein beliebiger anderer Aufpunkt auf g gewählt werden. Zum Beispiel ist ( 2 3 ) kollinear zu ( 1 3 2 ), da ( 2 3 )=2( 1 3 2 ) gilt. Und ( 2 6 ) ist ein anderer passender Aufpunktvektor, da der Punkt (2;6) offenbar die Geradengleichung erfüllt. Folglich ist

    g: r → =σ( 2 3 )+( 2 6 ) ,  σ∈ℝ

    eine weitere mögliche Parameterform der Geraden g.

  • Auch für eine Gerade, deren Koordinatengleichung nicht auf Normalform gebracht werden kann, wie etwa

    h:x=2 ,

    kann eine Punkt-Richtungsform angegeben werden.

    Punkte auf der Geraden h haben alle die Form (2;y) für y∈ℝ mit zugehörigen Ortsvektoren ( 2 y ) für y∈ℝ. Da ( 2 y )=y( 0 1 )+( 2 0 ) gilt, ist eine mögliche Punkt-Richtungsform für h durch

    h: r → =y( 0 1 )+( 2 0 ) ,  y∈ℝ

    gegeben.

  • Für die Gerade α in Parameterform mit

    α: r → =μ( -3 2 )+( 1 1 ) ,  μ∈ℝ

    soll die zugehörige Geradengleichung in Normalform ermittelt werden.

    Der Richtungsvektor ( -3 2 ) liefert die Steigung m= 2 -3 =- 2 3 . Somit hat die Geradengleichung in Normalform die Form

    α:y=- 2 3 x+b .

    Der Aufpunktvektor von α lautet ( 1 1 ). Somit kann zur Bestimmung des Achsenabschnitts b der Aufpunkt (1;1) eingesetzt werden:

    1=- 2 3 ·1+b ⇔ b= 5 3  .

    Somit ergibt sich

    α:y=- 2 3 x+ 5 3  .



  • Auch für eine Gerade in Parameterform wie etwa

    β: r → =λ( 0 -2 )+( -1 1 ) ,  λ∈ℝ ,

    für welche die x-Komponente des Richtungsvektors 0 ist, kann eine zugehörige Geradengleichung ermittelt werden.

    Der Richtungsvektor mit x-Komponente gleich 0 impliziert, dass die Gerade parallel zur y-Achse verläuft. Folglich hat die Geradengleichung die Form

    β:x=c .

    Die Konstante c kann wieder durch Einsetzen des Aufpunkts (-1;1) bestimmt werden. Man erhält -1=c, und folglich gilt

    β:x=-1 .



  • Zu den beiden Punkten P=(-1;-1) und Q=(3;2) ist die Gerade PQ in Parameterform zu bestimmen.

    Als Richtungsvektor dient hier der Verbindungsvektor

    u → = PQ → = Q → - P → =( 3 2 )-( -1 -1 )=( 4 3 )

    und als Aufpunktvektor der Ortsvektor von einem der gegebenen Punkte, zum Beispiel

    a → = P → =( -1 -1 ) .

    Somit gilt

    PQ: r → =λ( 4 3 )+( -1 -1 ) ,  λ∈ℝ .

    Bild hierzu:
    ./_F1CE2AF9_4x.png
    Abbildung 10.2.7: Skizze  (C)







Aufgabe 10.2.4  
  1. Gegeben ist die Gerade g mittels

    g: r → =t( -1 5 )+( 2 5 ) ,  t∈ℝ

    in Parameterform. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung von g in Normalform:
    g:y= .

  2. Die Gerade h mit der Koordinatengleichung

    h: 1 2 y+x+2=0

    hat die Parameterform

    h: r → =s( a 2 )+( b -5 ) ,  s∈ℝ .

    Bestimmen Sie die fehlenden Werte a und b.
    a=
    b=

  3. Gegeben sind die beiden Punkte A=(-2;-1) und B=(3;- 3 2 ). Welche der folgenden Parameterformen sind korrekte Darstellungen der Geraden AB?

    Richtig   Falsch (i) AB: r → =s( 5 - 1 2 )+( 0 - 6 5 ), s∈ℝ
    Richtig   Falsch (ii) AB: r → =t( 5 1 2 )+( -2 -1 ), t∈ℝ
    Richtig   Falsch (iii) AB: r → =u( -5 1 2 )+( -12 0 ), u∈ℝ
    Richtig   Falsch (iv) AB: r → =v( 10 -1 )+( 4 - 8 5 ), v∈ℝ
    Richtig   Falsch (v) AB: r → =w( -1 10 )+( -22 1 ), w∈ℝ
    Richtig   Falsch (vi) AB: r → =z( 5 2 - 1 4 )+( 6 5 -1 ), z∈ℝ




  4. Für welchen Wert von ψ liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor

    P → =( -2 ψ )

    auf der Geraden

    i: r → =τ( 1 -3 )+( -1 2 ) ,  τ∈ℝ ,

    und für welchen Parameterwert τ gilt dann r → = P → ?
    ψ=
    τ=







Geraden im Raum lassen sich im Gegensatz zu Geraden in der Ebene nicht mit Hilfe einer Koordinatengleichung darstellen. Hier hilft aber die Punkt-Richtungsform, die sich problemlos vom zwei- auf den dreidimensionalen Fall überträgt:

Info 10.2.5  
 
Eine Gerade g im Raum ist in Punkt-Richtungsform oder Parameterform gegeben als Menge von Ortsvektoren

g={ r → =λ u → + a → ∈ℝ3  : λ∈ℝ} ,

oft kurz geschrieben als

g: r → =λ u → + a →  ,  λ∈ℝ .

Hier gelten die gleichen Bezeichnungen wie im zweidimensionalen Fall: λ heißt Parameter, a → heißt Aufpunktvektor und u → ≠ O → heißt Richtungsvektor der Geraden:





Auch hier im dreidimensionalen Fall ist - analog zur Situation bei Geraden in der Ebene - die Parameterform einer Geraden nie eindeutig. Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung von Geraden in Parameterform im Raum.

Beispiel 10.2.6  
Zu den beiden gegebenen Punkten P=(-1;-2; 1 2 ) und Q=(2;0;8) sind zwei unterschiedliche Darstellungen der Geraden PQ in Parameterform anzugeben.

Der Verbindungsvektor PQ → dient als Richtungsvektor:

PQ → = Q → - P → =( 2 0 8 )-( -1 -2 1 2 )=( 3 2 15 2 ) .

Der Punkt Q kann als Aufpunkt benutzt werden. Damit ergibt sich die Parameterform

PQ: r → =t( 3 2 15 2 )+( 2 0 8 ) ,  t∈ℝ .

Weitere zulässige Richtungsvektoren müssen kollinear zu PQ → sein. Zum Beispiel:

( -6 -4 -15 )=-2( 3 2 15 2 ) .

Dann kann zum Beispiel auch der Punkt P als Aufpunkt benutzt werden, und man erhält

PQ: r → =s( -6 -4 -15 )+( -1 -2 1 2 ) ,  s∈ℝ

als weitere korrekte Punkt-Richtungsform für die Gerade PQ.


Aufgabe 10.2.7  
  1. Die Gerade h=AB, welche durch die gegebenen Punkte A=(-1;-1;0) und B=(-3;0;1) verläuft, hat die Parameterform

    h: r → =λ( 4 a b )+( c d -4 ) ,  λ∈ℝ .

    Bestimmen Sie die fehlenden Werte a, b, c und d.
    a=
    b=
    c=
    d=


  2. Für welchen Wert von χ liegt der Punkt P mit dem Ortsvektor

    P → =( -2 χ -8 )

    auf der Geraden

    g: r → =ν( 1 -3 8 )+( -1 2 0 ) ,  ν∈ℝ ,

    und für welchen Parameterwert ν gilt dann r → = P → ?
    χ=
    ν=