2. Differentialrechnung
  3. Standardableitungen
  4. Ableitung spezieller Funktionen

7.2.3 Ableitung spezieller Funktionen



Ableitung trigonometrischer Funktionen



Die Sinusfunktion f:ℝ→ℝ, x→f(x)=sin(x) ist periodisch mit Periode 2π. Somit genügt es, die Funktion auf einem Intervall der Länge 2π zu betrachten. Einen Ausschnitt des Graphen für -π≤x≤π zeigt die folgende Abbildung:

./_E7DC2746_4x.png
Abbildung 7.2.2: Skizze  (C)



Wie in der Abbildung zu sehen, ist die Steigung des Sinus bei x0 =± π 2 gerade f'(± π 2 )=0. Legt man eine Tangente an der Stelle x0 =0 an den Graphen der Sinusfunktion, erhält man als deren Steigung f'(0)=1. Untersucht man die Stellen x0 =±π, so findet man, dass dort die gleiche Steigung wie bei x0 =0, aber mit umgedrehtem Vorzeichen, vorliegt. Die Steigung ist dort also f'(±π)=-1. Die Ableitung des Sinus ist also eine Funktion, die genau diese Eigenschaften erfüllt. Eine genaue Untersuchung der Bereiche zwischen diesen speziell ausgesuchten Stellen ergibt, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt:

Ableitung trigonometrischer Funktionen 7.2.5  
Für die Sinusfunktion f:ℝ→ℝ, x→f(x):=sin(x) gilt

f':ℝ→ℝ ,  x→f'(x)=cos(x) .

Für die Kosinusfunktion g:ℝ→ℝ, x→g(x):=cos(x) gilt

g':ℝ→ℝ ,  x→g'(x)=-sin(x) .

Für die Tangensfunktion h:ℝ∖{ π 2 +kπ : k∈ℤ}→ℝ, x→h(x):=tan(x) gilt

h':ℝ∖{ π 2 +kπ : k∈ℤ}→ℝ ,   x→h'(x)=1+(tan(x ))2 = 1 cos2 (x)  .

Letzteres ergibt sich auch aus den nachfolgend erläuterten Rechenregeln und der Definition des Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus.

Ableitung der Exponentialfunktion



Info 7.2.6  
 
Die Exponentialfunktion f:ℝ→ℝ, x→f(x):=ex =exp(x) hat die besondere Eigenschaft, dass ihre Ableitung f' wiederum die Exponentialfunktion ist, also f'(x)=ex =exp(x) gilt.


Ableitung der Logarithmusfunktion



Die Ableitung der Logarithmusfunktion wird hier ohne Beweis angegeben. Für f: ]0;∞[ →ℝ mit x→f(x)=ln(x) erhält man f': ]0;∞[ →ℝ, x→f'(x)= 1 x .