7.3.5 Aufgaben

Aufgabe 7.3.9
Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen:

Es ist $f' (x) = 0 + 5 \cdot 1 \cdot x^{0} = 0 + 5 = 5$ .
Wegen $g (x) = \frac{1}{4 x} - x^{3} = \frac{1}{4} x^{- 1} - x^{3}$ folgt $g' (x) = \frac{1}{4} \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} - 3 \cdot x^{2} = - \frac{1}{4 x^{2}} - 3 x^{2}$ .
Wegen $h (x) = 2 \sqrt{x} + 4 x^{- 3} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- 3}$ folgt $h' (x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot (- 3) \cdot x^{- 4} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{12}{x^{4}}$ .

Aufgabe 7.3.10
Berechnen und vereinfachen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen:

Es ist mit Hilfe der Quotientenregel

$f'(x) = \frac{(- \sin (x)) \cdot \sin (x) - \cos (x) \cdot \cos (x)}{\left( \sin (x) \right)^2} = - \frac{\sin^2 (x) + \cos^2 (x)}{\sin^2 (x)} = - \frac{1}{\sin^2 (x)} \MDFPeriod$
Produkt- und Kettenregel liefern

$g'(x) = \cos (3x) \cdot 3 \cdot \cos (3x) + \sin (3x) \cdot \left( - \sin (3x) \right) \cdot 3 = 3 \left( \cos^2 (3x) - \sin^2 (3x) \right) \MDFPeriod$
Da allgemein $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = \cos (2 u)$ gilt, folgt also $g' (x) = 3 \cos (6 x)$ .
Aufgrund der allgemeinen Relation $\sin (2 u) = 2 \sin (u) \cos (u)$ ist

$h(x) = \frac{\sin (3x)}{\sin (6x)} = \frac{\sin (3x)}{2 \sin (3x) \cos (3x)} = \frac{1}{2 \cos (3x)} = \frac12 \cdot \left( \cos (3x) \right)^{-1} \MDFPeriod$
Mehrmaliges Anwenden der Kettenregel führt dann auf

$h'(x) = \frac12 \cdot (-1) \cdot \left( \cos (3x) \right)^{-2} \cdot \left( - \sin (3x) \right) \cdot 3 = \frac{3 \sin (3x)}{2 \cos^2 (3x)} = \frac{3 \tan (3x)}{2 \cos (3x)} \MDFPeriod$

Aufgabe 7.3.11
Berechnen Sie die Ableitungen der Funktionen

f, g

und

h

mit den gegebenen Funktionstermen:

Die Kettenregel liefert sofort $f' (x) = 5 e^{5 x}$ .
Produkt- und Kettenregel führen auf $g' (x) = 1 \cdot e^{6 x} + x \cdot e^{6 x} \cdot 6 = e^{6 x} (1 + 6 x)$ .
Produkt- und Kettenregel führen auf $h' (x) = (2 x - 1) \cdot e^{- 2 x} + (x^{2} - x) \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - (2 x^{2} - 4 x + 1) e^{- 2 x}$ .

Aufgabe 7.3.12
Berechnen Sie die ersten vier Ableitungen von

f : ℝ \to ℝ

mit

f (x) : = \sin (1 - 2 x)

.

Antwort: Die

k

-te Ableitung von

f

wird mit

f^{(k)}

bezeichnet. Dabei ist

f^{(1)} = f'

f^{(2)}

die Ableitung von

f^{(1)}

f^{(3)}

die Ableitung von

f^{(2)}

usw. Damit:

Mit Hilfe der Kettenregel bestimmt man sukzessive:

f^{(1)} (x) & = & \cos(1 - 2x) \cdot (-2) = -2 \cos(1 - 2x) \MDFPSpace , \\ f^{(2)} (x) & = & -2 \cdot \left( - \sin (1 - 2x) \right) \cdot (-2) = -4 \sin (1 - 2x) \MDFPSpace , \\ f^{(3)} (x) & = & -4 \cdot \cos (1 - 2x) \cdot (-2) = 8 \cos (1 - 2x) \MDFPSpace , \\ f^{(4)} (x) & = & 8 \cdot \left( - \sin (1 - 2x) \right) \cdot (-2) = 16 \sin (1 - 2x) \MDFPeriod