2. Grundlagen aus der Stochastik (Optional)
  3. Begriffe und Sprechweisen
  4. Bemerkungen

11.1.3 Bemerkungen zu den Rundungsvorgängen

Wie die folgenden Überlegungen und Beispiele zeigen, muss man beim Rechnen mit gerundeten Ergebnissen sehr kritisch sein. Man betrachte die Menge M=ℝ≥0 aller nicht negativen rellen Zahlen und führe auf der Menge M die Multiplikation

M×M  →M    ,    (a,b)  ⟼  a⊙b

über die Berechnungsvorschrift

a⊙b  =   1 102 · round ( 102 ·a·b)  =   1 102 ·⌊ 102 ·a·b+ 1 2 ⌋

ein. Anschaulich bedeutet dies, dass das Produkt a⊙b berechnet wird, indem zunächst das gewöhnliche Produnkt a·b berechnet wird und das Ergebnis dann auf zwei Nachkommastellen mathematisch gerundet wird.  
 
Das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt nicht mehr für die gerundete Multiplikation: Für die Zahlen a=2,11, b=3,35 und c=2,61 gilt beispielsweise

a⊙b  =  2,11⊙3,35  =  7,07   und   (a⊙b)⊙c  =  7,07⊙2,61  =  18,45 .

Setzt man die Klammern um, so erhält man aber

b⊙c  =  3,35⊙2,61  =  8,74     und     a⊙(b⊙c)  =  2,11⊙8,74  =  18,44 .



Info 11.1.11  
 
Da Taschenrechner (und Computer) stets mit gerundeten Ergebnissen rechnen, bedeutet dies, dass das Assoziativgesetz der Multiplikation auf Taschenrechnern nicht uneingeschränkt gültig ist.


Ebenso können falsche Ergebnisse durch ungeschicktes Runden entstehen: Dazu seien a=4,98 und b=1,001. Dann gilt

a·b  =  4,98·1,001  =  4,98498   also   a⊙b  =  4,98⊙1,001  =  4,98  =  a .

Weiter gilt

a· b1000   =  4,98·1, 0011000   =  a· b·…·b ⏟ 1000   Faktoren ≈13,53028118 .

Rundet man jetzt nach jeder durchgeführten Multiplikation auf 2 Nachkommastellen, so erhält man wegen a⊙b=a das völlig falsche Resultat

(…((a⊙ b)⊙b)…⊙b ⏟ 1000   Faktoren )  =  a  =  4,98 .



Info 11.1.12  
 
Dies bedeutet für die Praxis, dass man grundsätzlich mit mindestens der doppelten Genauigkeit rechnen muss und erst das Endergebnis auf die vorgeschriebene Genauigkeit runden darf.