2. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem
  3. Bereiche in der Ebene
  4. Bereiche (Geraden und Kreise als Rand)

9.4.2 Von Geraden und Kreisen begrenzte Bereiche



Die folgende Infobox listet die möglichen entstehenden Bereiche auf, wenn man in einer Geradengleichung das Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen ersetzt.

Info 9.4.1  
 
Ist eine Gerade g in der Ebene (mit Steigung m und Achsenabschnitt b) mittels einer Geradengleichung in Normalform bezüglich eines festen Koordinatensystems gegeben,

g:y=mx+b ,

dann erhält man durch Ersetzen des Gleichheitszeichens durch ein Ungleichheitszeichen die folgenden Mengen, welche jeweils Bereiche in der Ebene beschreiben:
  • B1 :={(x;y)∈ℝ2  : y>mx+b}= „Bereich oberhalb der Geraden, ohne die Punkte auf der Geraden selbst“
    ./_E979D45F_4x.png
    Abbildung 9.4.4: Skizze  (C)



  • B2 :={(x;y)∈ℝ2  : y≥mx+b}= „Bereich oberhalb der Geraden, inklusive der Punkte auf der Geraden“
    ./_2D849B40_4x.png
    Abbildung 9.4.5: Skizze  (C)



  • B3 :={(x;y)∈ℝ2  : y<mx+b}= „Bereich unterhalb der Geraden, ohne die Punkte auf der Geraden selbst“
    ./_327F6FAC_4x.png
    Abbildung 9.4.6: Skizze  (C)



  • B4 :={(x;y)∈ℝ2  : y≤mx+b}= „Bereich unterhalb der Geraden, inklusive Punkte auf der Geraden“
    ./_D8B15505_4x.png
    Abbildung 9.4.7: Skizze  (C)







Für Geraden, die nicht auf Normalform gebracht werden können, funktioniert die Überlegung für die Bereiche völlig analog. Das folgende Beispiel zeigt zwei einfache Fälle.

Beispiel 9.4.2  
Gegeben sind die beiden Geraden

g:y=-x+1

und

h:x=-1 .

Zu bestimmen und zu skizzieren sind die Mengen

A= „Bereich unterhalb von  g, ohne die Punkte auf  g  selbst“ ,



B= „Bereich rechts von  h, inklusive der Punkte auf  h “

sowie A∩B.

Zunächst gilt also

A={(x;y)∈ℝ2  : y<-x+1}

nach der Infobox oben und

B={(x;y)∈ℝ2  : x≥-1} ,

da rechts der Geraden h diejenigen Punkte liegen, deren x-Koordinaten größer als -1 sind. Die Schnittmenge A∩B sind diejenigen Punkte, welche beide Bedingungen erfüllen:

A∩B={(x;y)∈ℝ2  : y<-x+1∧x≥-1} .

Bilder hierzu:
./_797AA143_4x.png
Abbildung 9.4.8: Skizze  (C)



./_4D68A03E_4x.png
Abbildung 9.4.9: Skizze  (C)



./_9BD33AA0_4x.png
Abbildung 9.4.10: Skizze  (C)

Der Schnittpunkt (-1;2) der beiden Geraden ist dabei kein Element von A∩B, da Punkte auf g generell nicht zum Bereich A∩B gehören. Im Bild ist dies durch einen leeren Kringel angedeutet.


Dieses Beispiel zeigt bereits Folgendes: Bereiche, welche durch nur eine Koordinatenungleichung gegeben sind, die aus einer Geradengleichung stammt, sind relativ einfach anzugeben. Es wird schwieriger, sobald Schnittmengen solcher Bereiche gesucht sind. Das folgende, etwas schwierigere, Beispiel zeigt, dass man nun auch noch Beträge mit ins Spiel bringen kann.

Beispiel 9.4.3  
Es ist die Menge

M={(x;y) : |x-y|<1}

in Worten zu beschreiben und zu skizzieren.

Wie üblich bei Beträgen (vgl. 2.2) ist eine Fallunterscheidung nötig:
  1. x-y≥0 ⇔ x≥y
    Die Ungleichung |x-y|<1 lässt sich in diesem Fall auflösen zu

    |x-y|<1 ⇔ x-y<1 ⇔ y>x-1 .

    Somit liegen in diesem Fall alle (x;y) in M, die x≥y und y>x-1 erfüllen, also diejenigen Punkte, welche oberhalb der Geraden y=x-1, aber unterhalb oder auf der Winkelhalbierenden y=x liegen.

  2. x-y<0 ⇔ x<y
    Die Ungleichung |x-y|<1 lässt sich in diesem Fall auflösen zu

    |x-y|<1 ⇔ -(x-y)<1 ⇔ y<x+1 .

    Somit liegen in diesem Fall alle (x;y) in M, die x<y und y<x+1 erfüllen, also diejenigen Punkte, welche unterhalb der Geraden y=x+1, aber oberhalb der Winkelhalbierenden y=x liegen.

Aus beiden Fällen zusammen ergibt sich also die folgende Beschreibung für die Menge M:

M= „Alle Punkte zwischen den Geraden  y=x-1  und  y=x+1 , die aber nicht auf den Geraden liegen“

Skizze hierzu:
./_C77AA5D0_4x.png
Abbildung 9.4.11: Skizze  (C)



Aufgabe 9.4.4  
Skizzieren Sie jeweils die angegebenen Mengen:
  1. A={(x;y)∈ℝ2  : y≥1}∩{(x;y)∈ℝ2  : x≥1}

  2. B={(x;y)∈ℝ2  : |2x-y|≥1}

  3. C={(x;y)∈ℝ2  : |y|>x+1}





Die folgende Infobox fasst die möglichen Bereiche in der Ebene zusammen, die von einem Kreis begrenzt werden.

Info 9.4.5  
 
Ist ein Kreis K in der Ebene (mit Mittelpunkt M=( x0 ; y0 ) und Radius r) mittels einer Kreisgleichung in Normalform bezüglich eines festen Koordinatensystems gegeben,

K:(x- x0 )2 +(y- y0 )2 = r2  ,

dann erhält man durch Ersetzen des Gleichheitszeichens durch ein Ungleichheitszeichen die folgenden Mengen, welche jeweils Bereiche in der Ebene beschreiben:
  • B1 :={(x;y)∈ℝ2  : (x- x0 )2 +(y- y0 )2 < r2 }= „Bereich innerhalb des Kreises, ohne die Punkte auf dem Kreis selbst“
    ./_82D067A1_4x.png
    Abbildung 9.4.15: Skizze  (C)



  • B2 :={(x;y)∈ℝ2  : (x- x0 )2 +(y- y0 )2 ≤ r2 }= „Bereich innerhalb des Kreises, inklusive der Punkte auf dem Kreis“
    ./_2CDFADD4_4x.png
    Abbildung 9.4.16: Skizze  (C)



  • B3 :={(x;y)∈ℝ2  : (x- x0 )2 +(y- y0 )2 > r2 }= „Bereich außerhalb des Kreises, ohne die Punkte auf dem Kreis selbst“
    ./_E42CC87C_4x.png
    Abbildung 9.4.17: Skizze  (C)



  • B4 :={(x;y)∈ℝ2  : (x- x0 )2 +(y- y0 )2 ≥ r2 }= „Bereich außerhalb des Kreises, inklusive der Punkte auf dem Kreis“
    ./_28EA80D8_4x.png
    Abbildung 9.4.18: Skizze  (C)







Das folgende Beispiel zeigt einige einfache Fälle von Bereichen, die von Kreisen begrenzt werden, sowie auch einige kompliziertere Fälle, die entstehen, wenn man mehrere Bereiche miteinander oder mit den Bereichen, welche von Geraden begrenzt werden, kombiniert.

Beispiel 9.4.6  
Gegeben sind die Kreise

K1 : x2 + y2 =4

und

K2 :(x-2 )2 + y2 =1

sowie die Gerade

g:y=-x+1 .

  • Die Menge A1 :={(x;y)∈ℝ2  : (x-2 )2 + y2 ≤1} besteht aus allen Punkten innerhalb und auf dem Kreis K2 :

    ./_2055334F_4x.png
    Abbildung 9.4.19: Skizze  (C)



  • Die Menge A2 :={(x;y)∈ℝ2  : (x-2 )2 + y2 <1}∩{(x;y)∈ℝ2  :  x2 + y2 <4} besteht aus allen Punkten, die sowohl innerhalb des Kreises K1 als auch innerhalb des Kreises K2 liegen, also im Schnitt der beiden Kreisscheiben, aber nicht auf den Kreisen selbst:

    ./_6E240416_4x.png
    Abbildung 9.4.20: Skizze  (C)



  • Die Menge A3 :={(x;y)∈ℝ2  : (x-2 )2 + y2 <1∧y≥-x+1} besteht aus allen Punkten, die sowohl innerhalb des Kreises K2 - aber nicht auf dem Kreis - als auch auf oder oberhalb der Geraden g liegen:

    ./_9D2F26D5_4x.png
    Abbildung 9.4.21: Skizze  (C)

    Die Schnittpunkte von Kreis und Gerade gehören nicht zu A3 .



Aufgabe 9.4.7  
Skizzieren Sie jeweils die angegebenen Mengen:
  1. A={(x;y)∈ℝ2  : (x-1 )2 +(y-1 )2 ≥1}∩{(x;y)∈ℝ2  : y>- 1 2 x+1}

  2. B={(x;y)∈ℝ2  : |x|<1}∪{(x;y)∈ℝ2  : (x+3 )2 +(y-1 )2 ≤4}

  3. C={(x;y)∈ℝ2  :  x2 + y2 <4∧ x2 +(y+1 )2 ≥1}