11.2.3 Zinsrechnung

In der Zinsrechnung unterscheidet man die einfache Verzinsung und die Zinseszinsrechnung. Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen am Ende der jeweiligen Zinsperioden ausgezahlt. Dagegen werden bei der Verzinsung mit Zinseszins die Zinsen wiederum verzinst.

Info 11.2.7

Eine Größe

K

, die jedes Jahr um

p %

anwächst, wird bei einfacher Verzinsung nach

t

Jahren,

t \in ℕ

, auf

K_{t} = K \cdot (1 + t \cdot \frac{p}{100})

anwachsen.

Dabei ist zu beachten, dass

p

selbst eine Zahl mit Nachkommastellen sein kann, beispielsweise

p = 2,5

. Dann ist

2,5 % = 0,025

der Prozentwert.

Aufgabe 11.2.8
Welches Endkapital ergibt sich bei einfacher Verzinsung in Höhe von

p = 2,5 %

p. a. nach

t = 10

Jahren Laufzeit bei einem Anfangskapital von

K = 4000

EUR?

Antwort:

K_{10}

=

EUR.

Einsetzen der entsprechenden Werte in die Zinsformel für die einfache Verzinsung ergibt

K_{10} = K \cdot (1 + 10 \cdot 0,025) = 4000 EUR \cdot 1,25 = 5000 EUR .

Aufgabe 11.2.9
Welcher Betrag

K

hätte am 1.1.2000 einbezahlt werden müssen, um bei einfacher Verzinsung zu

p = 5 %

p. a. am 31.12.2011 ein Kapital von

K_{12} = 10000

EUR zu erhalten?

Antwort:

K

=

EUR.

Einsetzen der entsprechenden Werte in die Zinsformel für die einfache Verzinsung ergibt

K_{12} = 10000 EUR = K \cdot (1 + 12 \cdot 0,05) = K \cdot 1,6 .

Löst man diese Gleichung nach

K

auf, so ergibt sich

K = \frac{10000 EUR}{1,6} = \frac{100000 EUR}{16} = 6250 EUR nach Kürzen des Bruchs .

Während bei der einfachen Verzinsung die Zinsen ausgezahlt werden, verzinst man diese bei der Zinseszinsrechnung in der folgenden Zinsperiode mit, d.h. die Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen bzw. kapitalisiert:

Beispiel 11.2.10
Auf einem Bankkonto werde ein Guthaben von

1000

Euro zu

8 %

Zinsen am Ende des Anlagejahres angelegt. Nach einem Jahr beträgt das Guthaben auf dem Konto (in EUR)

$1000 + \frac{1000 \cdot 8}{100} = 1000 \cdot (1 + \frac{8}{100}) = 1000 \cdot 1,08 = 1080$ .
Das Guthaben werde ein weiteres Jahr zum selben Zinssatz von $8 %$ angelegt. Dann beläuft sich das Gesamtguthaben nach zwei Jahren (in EUR) auf $1080 \cdot 1,08 = 1000 \cdot {1,08}^{2} = 1000 \cdot {(1 + \frac{8}{100})}^{2}$ .
Jedes Jahr wächst das Guthaben um den Faktor $1,08$ . Folglich beträgt das Guthaben (in EUR) nach $t$ Jahren ( $t \in ℕ_{0}$ )

$1000 \cdot 1, 08^{t} = 1000 \cdot {(1 + \frac{8}{100})}^{t} .$

Die Zinsenszinsrechnung basiert daher auf folgender Formel:

Info 11.2.11

Eine Größe

K

, die jedes Jahr um

p %

anwächst, wird nach

t

Jahren (

t \in ℕ_{0}

) auf

K \cdot {(1 + \frac{p}{100})}^{t}

anwachsen. Dabei wird

1 + \frac{p}{100}

der Wachstumsfaktor für ein Wachstum von

p %

genannt.

In einer Werbung, die Sparkonten oder Kredite anbietet, wird der Zins gewöhnlich als jährliche Rate angegeben, auch dann, wenn die aktuelle Zinsperiode verschieden davon ist. Diese Zinsperiode ist die Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten liegt, zu denen Zinszahlungen fällig sind. Für einige Sparkonten ist die Zinsperiode ein Jahr, aber es wird üblicher, andere Zinsperioden anzubieten. So werden z.B. bei Spareinlagen die Zinsen täglich oder monatlich gutgeschrieben.

Falls eine Bank eine jährliche Zinsrate von

9 %

mit monatlicher Zinsgutschrift anbietet, so werden

(\frac{1}{12}) \cdot 9 % = 0,75 %

des Kapitals am Ende eines jeden Monats dem Konto gutgeschrieben.

Info 11.2.12

Die jährliche Rate muss dividiert werden durch die Anzahl der Zinsperioden, um die periodische Rate, das ist der Zinssatz pro Periode, zu erhalten.

Angenommen eine Kapitalanlage von

S_{0}

EUR bringt

p %

Zinsen pro Periode ein. Nach

t

Perioden (

t \in ℕ_{0}

) wird das Kapital auf den Betrag

S_{t} = S_{0} \cdot (1 + r)^{t} mit r = \frac{p}{100}

angewachsen sein. In jeder Periode wächst das Kapital um den Faktor

1 + r

, und man sagt: der Zinssatz beträgt

p %

oder die Zinsrate ist gleich

r

. Es werde angenommen, dass die Zinsen zur Rate

\frac{p}{n} %

dem Kapital zu

n

verschiedenen Zeitpunkten, die mehr oder weniger gleichmäßig über das Jahr verteilt sind, gutgeschrieben werden. Dann wird das Kapital jedes Jahr mit einem Faktor

{(1 + \frac{r}{n})}^{n}

multipliziert. Nach

t

Jahren ist das Kapital angewachsen auf

S_{0} \cdot {(1 + \frac{r}{n})}^{n \cdot t} .

Beispiel 11.2.13
Ein Guthaben von

5000

EUR wird für

t = 8

Jahren auf einem Konto angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von

9 %

, wobei die Zinsen vierteljährlich gutgeschrieben werden. Die periodische Rate

\frac{r}{n}

ist in diesem Fall

\frac{r}{n} = \frac{0.09}{4} = 0,0225

und für die Anzahl der Perioden

n \cdot t

ergibt sich

n \cdot t = 4 \cdot 8 = 32

. Damit wächst das Guthaben nach

t = 8

Jahren auf

5000 \cdot (1 + 0,0225)^{32} \approx 10190,52 EUR .

Aufgabe 11.2.14
Ein Kapital von

K_{0} = 8750

EUR wird

t = 4

Jahre zu

p = 3,5 %

p.a. und Zinskapitalisierung angelegt.

Die Höhe des Kapitals nach einem Jahr ist $K_{1}$ $=$

.
Die Höhe des Kapitals nach zwei Jahren ist $K_{2}$ $=$

.
Die Höhe des Kapitals nach drei Jahren ist $K_{3}$ $=$

.
Die Höhe des Endkapitals ist $K_{4}$ $=$

.

Geben Sie alle Werte mathematisch gerundet auf zwei Nachkommastellen an, runden Sie erst nach Ausführung der Rechenoperationen. Sie können für diese Aufgabe einen Taschenrechner einsetzen.

Einsetzen in die Zinseszinsformel ergibt die Werte

K_1 &=& K_0\cdot \left({1+0,035}\right)^1 \;=\; 9056,25\\ K_2 &=& K_0\cdot \left({1+0,035}\right)^2 \;=\; 9373,22\;\text{(gerundet)}\\ K_3 &=& K_0\cdot \left({1+0,035}\right)^3 \;=\; 9701,28\;\text{(gerundet)}\\ K_4 &=& K_0\cdot \left({1+0,035}\right)^4 \;=\; 10040,83\;\text{(gerundet)}

wobei es wegen der Fehlerfortpflanzung bei Rundung notwendig ist, erst die Potenz auszurechnen und dann zu runden. Es ist beispielsweise nicht richtig, die gerundeten Jahreswert

K_{3}

mit

1,035

zu multiplizieren um

K_{4}

zu erhalten.

Ein Verbraucher, der einen Kredit aufnehmen möchte, steht möglicherweise vor mehreren Angeboten konkurrierender Geldinstitute. Es ist daher von großer Bedeutung, die verschiedenen Angebote zu vergleichen.

Beispiel 11.2.15
Betrachtet wird ein Angebot mit einem jährlichen Zinssatz von

9 %

, wobei Zinsen zur Rate

0,75 %

monatlich, also

12

-mal im Jahr, berechnet werden. Wenn zwischenzeitlich keine Zinsen abgezahlt werden, wird eine Anfangsschuld

S_{0}

nach einem Jahr anwachsen auf eine Schuld

S_{0} \cdot {(1 + \frac{0.09}{12})}^{12} \approx S_{0} \cdot 1,094 .

Die zu zahlenden Zinsen sind ungefähr

1,094 \cdot S_{0} - S_{0} = 0,094 \cdot S_{0} .

Die Schuld wird, solange keine Zinsen zwischenzeitlich abgezahlt werden, mit einer konstanten proportionalen Rate wachsen, die ungefähr

9,4 %

pro Jahr beträgt. Aus diesem Grund spricht man vom effektiven jährlichen Zinssatz. Im Beispiel beträgt der effektive jährliche Zinssatz

9,4 %

Info 11.2.16

Wenn die Zinsen

n

-mal im Jahr zum Zinssatz

\frac{r}{n}

pro Periode gutgeschrieben werden, so ist der effektive jährliche Zinssatz

R

definiert durch

R = {(1 + \frac{r}{n})}^{n} - 1 .

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