4.3.5 Aufgaben

1. Man stellt z.B. die erste Gleichung ($2x-y+5z=1$) nach $y$ frei, $y=2x+5z-1$, und setzt dieses Ergebnis in die dritte Gleichung ($-4x+y-3z=-1$) ein:
   
   ${\displaystyle -4x+(2x+5z-1)-3z=-1\iff -2x+2z=0\iff z=x\hspace{0.5em}.}$
   
   Das letzte Ergebnis, das schon nach der Unbekannten $z$ aufgelöst wurde, setzt man in die zweite Gleichung ein ($11x+8z=2$), die von vornherein unabhängig von $y$ ist:
   
   ${\displaystyle 11x+8x=2\iff 19x=2\iff x=\frac{2}{19}\hspace{0.5em}.}$
   
   Damit gilt auch
   
   ${\displaystyle z=\frac{2}{19}\hspace{0.5em},}$
   
   und für $y$ erhält man - gemäß der Gleichung aus der ersten Umformung -:
   
   ${\displaystyle y=2·\frac{2}{19}+5·\frac{2}{19}-1=\frac{4+10-19}{19}=\frac{-5}{19}\hspace{0.5em}.}$
   
   Also ist das Lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar mit $L=\{(x=\frac{2}{19};y=-\frac{5}{19};z=\frac{2}{19})\}$.
   Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
   
   
2. Addition der ersten und der dritten Gleichung eliminiert die Unbekannte $y$:
   
   ${\displaystyle (2x-y+5z)+(-4x+y-3z)=1+(-1)\iff -2x+2z=0\hspace{0.5em}.}$
   
   Multipliziert man die letzte Gleichung mit $(-4)$, so entsteht
   
   ${\displaystyle 8x-8z=0\hspace{0.5em},}$
   
   und die anschließende Addition der zweiten Gleichung ($11x+8z=2$) sorgt dafür, dass die Abhängigkeit von $z$ herausfällt:
   
   ${\displaystyle (8x-8z)+(11x+8z)=0+2\iff 19x=2\iff x=\frac{2}{19}\hspace{0.5em}.}$
   
   Wie im ersten Aufgabenteil können in der Folge $z$ und $y$ bestimmt werden; natürlich bekommt man dasselbe Ergebnis $L=\{(x=\frac{2}{19};y=-\frac{5}{19};z=\frac{2}{19})\}$.
   Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.
   
   

Man löst z.B. die erste Gleichung nach $I_1$ auf,

${\displaystyle I_1=I_2+I_3\hspace{0.5em},}$

und setzt das Ergebnis in die zweite Gleichung ein:

${\displaystyle R_1(I_2+I_3)+R_2{I}_2=U\iff (R_1+R_2)I_2+R_1{I}_3=U\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}:\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2\text{'})\hspace{0.5em}.}$

Die letzte Gleichung und die dritte Gleichung im ursprünglichen System hängen nur noch von den Unbekannten $I_2$ und $I_3$ ab. Sie bilden ein System aus zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten, das man jetzt weiter löst: Dazu stellt man z.B. die dritte Gleichung des ursprünglichen Systems nach $I_3$ frei,

${\displaystyle I_3=\frac{R_2}{R_3}{I}_2\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}:\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(3\text{'})\hspace{0.5em},}$

und setzt das Resultat in Gleichung $(2\text{'})$ ein:


Damit folgt für $I_3$ wegen Gleichung $(3\text{'})$

${\displaystyle I_3=\frac{R_2}{R_3}·\frac{R_3}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}U=\frac{R_2}{R_1{R}_2+R_1{R}_3+R_2{R}_3}U}$

und für $I_1$ schließlich:


Nun kann man die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Werte für die Widerstände ($R_1=1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }$, $R_2=2\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }$ und $R_3=3\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }$) und die Spannung ($U=\mathrm{5,5}\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{V}$) einsetzen; für $I_1$ erhält man unter Verwendung von $1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{V}=1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }·1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{A}$:

${\displaystyle I_1=\frac{(2+3)\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }}{(1·2+1·3+2·3)\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{\Omega }{}^2}·\mathrm{5,5}·\mathrm{\Omega }·\mathrm{A}=\mathrm{2,5}\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{A}\hspace{0.5em}.}$

Analog findet man für $I_2$ und $I_3$: $I_2=\mathrm{1,5}\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{A}$ und $I_3=1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{A}.$
Alternative Lösungswege sind ebenso gut möglich.

Da die erste Gleichung ($x+2z=5$) von vornherein nicht von der Unbekannten $y$ abhängt, bietet es sich an, aus der zweiten und dritten Gleichung $y$ ebenfalls zu eliminieren. Dazu multipliziert man die zweite Gleichung ($3x+y-2z=-1$) mit $2$ und addiert die resultierende Gleichung zur dritten Gleichung ($-x-2y+4z=7$) hinzu:


Zufälligerweise fällt gleichzeitig auch die Unbekannte $z$ heraus. Mit dem Ergebnis für $x$ liefert die erste Gleichung

${\displaystyle 1+2z=5\iff 2z=4\iff z=2\hspace{0.5em}.}$

Den Wert für $y$ erhält man sodann, indem man z.B. die zweite Gleichung verwendet:

${\displaystyle 3·1+y-2·2=-1\iff 3+y-4=-1\iff y=0\hspace{0.5em}.}$

Also lautet die Lösungsmenge $L=\{(x=1;y=0;z=2)\}$.