1.2.1 Mit Brüchen rechnen

Ein Bruch ist eine rationale Zahl der Form

\frac{Zähler}{Nenner}

, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind und der Nenner

\neq 0

ist. Beispiele hierfür sind:

\frac{1}{2}, \frac{5}{- 10}, \frac{- 17}{12}, \frac{1}{23}, \frac{4}{6}, \frac{- 2}{3}, \dots .

Sehr schnell erkennt man, dass ein und dieselbe rationale Zahl beliebig viele äquivalente Darstellungen haben kann. Zum Beispiel gilt:

\frac{12}{36} = \frac{1}{3} = \frac{24}{72} = \frac{- 12}{- 36} = \frac{3}{9} = \frac{2}{6} = \frac{120}{360} = \dots .

Die verschiedenen Darstellungen gehen durch Kürzen bzw. Erweitern ineinander über.

Info 1.2.1

Brüche werden gekürzt, indem Zähler und Nenner durch dieselbe ganze Zahl ungleich Null dividiert werden.

Brüche werden erweitert, indem Zähler und Nenner mit derselben ganzen Zahl ungleich Null multipliziert werden.

Beispiel 1.2.2
Drei Freunde möchten sich eine Pizza teilen. Tom isst

\frac{1}{4}

der Pizza, Tim

\frac{1}{3}

der Pizza. Wieviel Pizza ist noch für ihren Freund Sven übrig, der eigentlich immer den meisten Hunger hat?
Der Ergebnis wird mithilfe der Bruchrechnung bestimmt: Zunächst müssen zwei Brüche addiert werden, um festzustellen, wieviel Tim und Tom schon von der Pizza gegessen haben:

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12} .

Hier erkennt man schon die beiden wichtigsten Schritte: zunächst müssen die beiden Brüche durch Erweitern auf den sogenannten Hauptnenner gebracht oder man sagt auch gleichnamig gemacht werden. Wenn die Brüche dann denselben Nenner besitzen, können sie addiert werden, indem ihre Zähler addiert und der gemeinsame Nenner übernommen wird. Mit dem Ergebnis, dass Tim und Tom

\frac{7}{12}

der Pizza gegessen haben, kann durch Subtraktion berechnet werden, wie viel für Sven übrig bleibt:

1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} .

Auch hier werden die Brüche wieder auf den Hauptnenner gebracht und anschließend die Zähler subtrahiert. Die beiden Freunde haben also für den immer hungrigen Sven tatsächlich die meiste Pizza übriggelassen.

In dieser Trainingsaufgabe kann das Kürzen von Zahlen in Zähler und Nenner eingeübt werden:

Schwieriger wird es, wenn Unbestimmte in Zähler in Nenner auftreten. Diese können genau wie Zahlen (aber nicht mit Zahlen) gekürzt werden, beispielsweise ist

\frac{4 x^{2} y^{3} + 3 y^{2}}{10 y^{2}} = \frac{4 x^{2} y + 3}{10}

nach Kürzung durch den Term

y^{2}

Zähler und Nenner.

Info 1.2.4

Der Hauptnenner von zwei Brüchen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die beide Zahlen als Teiler besitzt. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier Zahlen ist die größte Zahl, die beide Zahlen als Vielfache besitzt.

Ist die Bestimmung des kgV bei den folgenden Rechenregeln zu kompliziert, so kann an seiner Stelle auch das einfache Produkt der Nenner benutzt werden:

Info 1.2.5

Brüche werden addiert/subtrahiert, indem man sie auf den gleichen Nenner bringt und die Zähler anschließend addiert/subtrahiert, d. h.

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d}, b d \neq 0 .

Üblicherweise werden die Brüche auf den Hauptnenner erweitert.

Beispielsweise ist das kleinste gemeinsame Vielfache von

6 = 2 \cdot 3

und

15 = 3 \cdot 5

die Zahl

2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

, das Produkt ist dagegen

6 \cdot 15 = 90

. Man kann also

\frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{5}{30} + \frac{2}{30} = \frac{7}{30}

aber auch

\frac{1}{6} + \frac{1}{15} = \frac{15}{90} + \frac{6}{90} = \frac{21}{90}

rechnen und den letzten Bruch dann noch zu

\frac{7}{30}

kürzen.

Beispiel 1.2.6
Das kleinste gemeinsame Vielfache für den Hauptnenner ist die kleinste Zahl, die von allen beteiligten Nennern geteilt wird. Falls die Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben, ist es einfach das Produkt der beiden Zahlen:

\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10} &=& \displaystyle\frac{5}{30}+\frac{3}{30} \;=\; \frac{8}{30} \;=\; \frac{4}{15}\MDFPSpace , \ \\ \displaystyle\frac{1}{6}+\frac{1}{10} &=& \displaystyle\frac{10}{60}+\frac{6}{60} \;=\; \frac{16}{60} \;=\; \frac{4}{15}\MDFPaSpace , \ \\ \displaystyle\frac{4}{15}-\frac1{2} &=& \displaystyle\frac{8}{30}-\frac{15}{30} \;=\; \frac{8-15}{30} \;=\; -\frac{7}{30}\MDFPSpace , \ \\ \displaystyle\frac{1}{3}+\frac{1}{9} &=& \displaystyle\frac{3}{9}+\frac19 \;=\; \frac49\MDFPSpace ,\ \\ \displaystyle\frac1{2^2}+\frac1{2^4} & = & \displaystyle\frac{2^2}{2^4}+\frac{1}{2^4} \;=\; \frac{5}{16}\MDFPSpace ,\ \\ \displaystyle\frac12+\frac13+\frac17 & = & \displaystyle\frac{21}{42}+\frac{14}{42}+\frac{6}{42} \;=\; \frac{41}{42}\MDFPeriod

Bei der Bildung von Hauptnennern können auch Terme mit Variablen zum Einsatz kommen. Da die Bruchumformungen für alle Werte dieser Variablen richtig sein sollen, müssen diese wie Zahlen ohne gemeinsame Faktoren behandelt werden:

Beispiel 1.2.7
Sind

x

und

y

eine Variablen, so gilt

\displaystyle \frac13+\frac1x & = & \displaystyle\frac{x}{3\cdot x}+\frac{3}{3\cdot x} \; =\; \frac{3+x}{3\cdot x}\MDFPSpace ,\\ \displaystyle\frac{1}{x}+\frac1{y} & = & \displaystyle\frac{y}{x\cdot y}+\frac{x}{x\cdot y} \;=\; \frac{x+y}{x\cdot y}\MDFPSpace ,\ \\ \displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac1{x+1} & = & \displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{x+1}{(x+1)^2}\;=\;\frac{x+2}{(x+1)^2}\MDFPeriod

Aufgabe 1.2.8
Diese Summen sollen über Hauptnenner (oder das Produkt der Nenner) ausgerechnet werden:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{8}$ $=$

.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$ $=$

.
$\frac{1}{2 x} + \frac{1}{3 x}$ $=$

.

Bei dieser Aufgabe dürfen keine Rechenoperationen bis auf Multiplikation * und den Divisonsstrich / eingegeben werden.

Bilden des Hauptnenners und Zusammenfassen/Kürzen ergibt

\displaystyle\frac12-\frac18 & = & \displaystyle\frac48-\frac18 \;=\; \frac38 \MDFPSpace ,\\ \displaystyle\frac13+\frac15+\frac16 & = & \displaystyle\frac{10}{30}+\frac6{30}+\frac{5}{30} \;=\; \frac{21}{30} \;=\; \frac{7}{10}\MDFPSpace ,\\ \displaystyle\frac1{2x}+\frac1{3x} & = & \displaystyle\frac{3}{6x}+\frac{2}{6x} \;=\; \frac{5}{6x} \MDFPSpace .

Aufgabe 1.2.9
Bei gleichnamigen Brüchen darf man nur die Zähler addieren bzw. zerlegen, für den Nenner gibt es keine solche Regel. Berechnen Sie zum Nachweis die folgenden Zahlenwerte, indem Sie den Hauptnenner bilden und soweit möglich kürzen:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ $=$

aber $\frac{1}{2 + 3}$ $=$

.
$\frac{1 + 2}{5 + 6}$ $=$

aber $\frac{1}{5} + \frac{2}{6}$ $=$

.

Summen von Nennern darf man nicht zusammenfassen, auch nicht bei gleichem Zähler, hier ist

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} aber \frac{1}{2 + 3} = \frac{1}{5} .

Auch das einfache „Auseinandernehmen“ von Bestandteilen der Brüche ist nicht erlaubt, hier ist

\frac{1 + 2}{5 + 6} = \frac{3}{11} aber \frac{1}{5} + \frac{2}{6} = \frac{6}{30} + \frac{10}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15} .

Info 1.2.10

Brüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden, d. h.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}, b d \neq 0 .

Die Division zweier Brüche wird auf die Multiplikation zurückgeführt:

Info 1.2.11

Brüche werden dividiert, indem der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird, d.h.

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}, b, c, d \neq 0 .

Die Division zweier Brüche kann auch als Doppelbruch geschrieben werden:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} .

Beispiel 1.2.12
Die Multiplikation bzw. Division zweier Brüche sieht unter Berücksichtigung von eventuellem Kürzen folgendermaßen aus:

\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}, \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} .

Online-Brückenkurs Mathematik

1 Elementares Rechnen

2 Gleichungen in einer Unbekannten

3 Ungleichungen in einer Unbekannten

4 Lineare Gleichungssysteme

5 Geometrie

6 Elementare Funktionen

7 Differentialrechnung

8 Integralrechnung

9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11 Grundlagen aus der Stochastik (Optional)

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