9.4.2 Von Geraden und Kreisen begrenzte Bereiche

Die folgende Infobox listet die möglichen entstehenden Bereiche auf, wenn man in einer Geradengleichung das Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen ersetzt.

Info 9.4.1

Ist eine Gerade

g

in der Ebene (mit Steigung

m

und Achsenabschnitt

b

) mittels einer Geradengleichung in Normalform bezüglich eines festen Koordinatensystems gegeben,

g\colon y=m x+b \MDFPSpace ,

dann erhält man durch Ersetzen des Gleichheitszeichens durch ein Ungleichheitszeichen die folgenden Mengen, welche jeweils Bereiche in der Ebene beschreiben:

$B_{1} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : y > m x + b} =$ „Bereich oberhalb der Geraden, ohne die Punkte auf der Geraden selbst“

Abbildung 9.4.4: Skizze (C)
$B_{2} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : y \geq m x + b} =$ „Bereich oberhalb der Geraden, inklusive der Punkte auf der Geraden“

Abbildung 9.4.5: Skizze (C)
$B_{3} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : y < m x + b} =$ „Bereich unterhalb der Geraden, ohne die Punkte auf der Geraden selbst“

Abbildung 9.4.6: Skizze (C)
$B_{4} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : y \leq m x + b} =$ „Bereich unterhalb der Geraden, inklusive Punkte auf der Geraden“

Abbildung 9.4.7: Skizze (C)

Für Geraden, die nicht auf Normalform gebracht werden können, funktioniert die Überlegung für die Bereiche völlig analog. Das folgende Beispiel zeigt zwei einfache Fälle.

Beispiel 9.4.2
Gegeben sind die beiden Geraden

g\colon y=-x+1

und

h\colon x=-1 \MDFPeriod

Zu bestimmen und zu skizzieren sind die Mengen

A=\textrm{\glqq Bereich unterhalb von}\ g, \textrm{ ohne die Punkte auf}\ g\ \textrm{selbst\grqq},

B=\textrm{\glqq Bereich rechts von}\ h, \textrm{ inklusive der Punkte auf}\ h\textrm{\grqq}

sowie

A \cap B

.

Zunächst gilt also

A=\{\MPointTwo{x}{y}\in\R^2\MCondSetSep y<-x+1\}

nach der Infobox oben und

B=\{\MPointTwo{x}{y}\in\R^2\MCondSetSep x\geq-1\} \MDFPSpace ,

da rechts der Geraden

h

diejenigen Punkte liegen, deren

x

-Koordinaten größer als

- 1

sind. Die Schnittmenge

A \cap B

sind diejenigen Punkte, welche beide Bedingungen erfüllen:

A\cap B=\{\MPointTwo{x}{y}\in\R^2\MCondSetSep y<-x+1\wedge x\geq-1\}\MDFPeriod

Bilder hierzu:

Abbildung 9.4.8: Skizze (C)

Abbildung 9.4.9: Skizze (C)

Abbildung 9.4.10: Skizze (C)

Der Schnittpunkt

(- 1; 2)

der beiden Geraden ist dabei kein Element von

A \cap B

, da Punkte auf

g

generell nicht zum Bereich

A \cap B

gehören. Im Bild ist dies durch einen leeren Kringel angedeutet.

Dieses Beispiel zeigt bereits Folgendes: Bereiche, welche durch nur eine Koordinatenungleichung gegeben sind, die aus einer Geradengleichung stammt, sind relativ einfach anzugeben. Es wird schwieriger, sobald Schnittmengen solcher Bereiche gesucht sind. Das folgende, etwas schwierigere, Beispiel zeigt, dass man nun auch noch Beträge mit ins Spiel bringen kann.

Beispiel 9.4.3
Es ist die Menge

M=\{\MPointTwo{x}{y}\MCondSetSep |x-y|<1\}

in Worten zu beschreiben und zu skizzieren.

Wie üblich bei Beträgen (vgl. 2.2) ist eine Fallunterscheidung nötig:

$x - y \geq 0 \Leftrightarrow x \geq y$
Die Ungleichung $| x - y | < 1$ lässt sich in diesem Fall auflösen zu

$|x-y|<1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace x-y<1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y>x-1 \MDFPeriod$
Somit liegen in diesem Fall alle $(x; y)$ in $M$ , die $x \geq y$ und $y > x - 1$ erfüllen, also diejenigen Punkte, welche oberhalb der Geraden $y = x - 1$ , aber unterhalb oder auf der Winkelhalbierenden $y = x$ liegen.
$x - y < 0 \Leftrightarrow x < y$
Die Ungleichung $| x - y | < 1$ lässt sich in diesem Fall auflösen zu

$|x-y|<1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace -(x-y)<1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y<x+1 \MDFPeriod$
Somit liegen in diesem Fall alle $(x; y)$ in $M$ , die $x < y$ und $y < x + 1$ erfüllen, also diejenigen Punkte, welche unterhalb der Geraden $y = x + 1$ , aber oberhalb der Winkelhalbierenden $y = x$ liegen.

Aus beiden Fällen zusammen ergibt sich also die folgende Beschreibung für die Menge

M

M=\textrm{\glqq Alle Punkte zwischen den Geraden}\ y=x-1\ \textrm{und}\ y=x+1\textrm{, die aber nicht auf den Geraden liegen\grqq}

Skizze hierzu:

Abbildung 9.4.11: Skizze (C)

Aufgabe 9.4.4
Skizzieren Sie jeweils die angegebenen Mengen:

$A = {(x; y) \in ℝ^{2} : y \geq 1} \cap {(x; y) \in ℝ^{2} : x \geq 1}$
$B = {(x; y) \in ℝ^{2} : | 2 x - y | \geq 1}$
$C = {(x; y) \in ℝ^{2} : | y | > x + 1}$

Die Menge aller Punkte, welche $y \geq 1$ erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden $y = 1$ , und die Punkte, welche $x \geq 1$ erfüllen, liegen auf oder rechts von der Geraden $x = 1$ . Insgesamt sind die Punkte gesucht, welche beide Bedingungen erfüllen (Schnittmenge). Es ergibt sich also:

Abbildung 9.4.12: Skizze (C)
Fallunterscheidung:
1. $2 x - y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2 x$ :
  
  $|2x-y|\geq1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace 2x-y\geq 1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y\leq 2x-1$
  Dieser Fall liefert also alle Punkte, die auf oder unterhalb der Geraden $y = 2 x - 1$ liegen.
2. $2 x - y < 0 \Leftrightarrow y > 2 x$ :
  
  $|2x-y|\geq1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace -(2x-y)\geq 1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y\geq 2x+1$
  Dieser Fall liefert also alle Punkte, die auf oder oberhalb der Geraden $y = 2 x + 1$ liegen.
Insgesamt ergeben sich also die folgenden Bereiche:

Abbildung 9.4.13: Skizze (C)
Fallunterscheidung:
1. $y \geq 0$ :
  
  $|y|>x+1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y>x+1$
  Dieser Fall liefert also alle Punkte, die eine nicht-negative $y$ -Koordinate haben und oberhalb der Geraden $y = x + 1$ liegen.
2. $y < 0$ :
  
  $|y|>x+1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace -y>x+1\MDFPSpace\Leftrightarrow\MDFPSpace y<-x-1$
  Dieser Fall liefert also alle Punkte, die eine negative $y$ -Koordinate haben und unterhalb der Geraden $y = - x - 1$ liegen.
Damit ergibt sich der folgende Bereich:

Abbildung 9.4.14: Skizze (C)

Der Punkt (-1;0) gehört nicht zu C.

Die folgende Infobox fasst die möglichen Bereiche in der Ebene zusammen, die von einem Kreis begrenzt werden.

Info 9.4.5

Ist ein Kreis

K

in der Ebene (mit Mittelpunkt

M = (x_{0}; y_{0})

und Radius

r

) mittels einer Kreisgleichung in Normalform bezüglich eines festen Koordinatensystems gegeben,

K\colon (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \MDFPSpace ,

dann erhält man durch Ersetzen des Gleichheitszeichens durch ein Ungleichheitszeichen die folgenden Mengen, welche jeweils Bereiche in der Ebene beschreiben:

$B_{1} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < r^{2}} =$ „Bereich innerhalb des Kreises, ohne die Punkte auf dem Kreis selbst“

Abbildung 9.4.15: Skizze (C)
$B_{2} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} \leq r^{2}} =$ „Bereich innerhalb des Kreises, inklusive der Punkte auf dem Kreis“

Abbildung 9.4.16: Skizze (C)
$B_{3} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} > r^{2}} =$ „Bereich außerhalb des Kreises, ohne die Punkte auf dem Kreis selbst“

Abbildung 9.4.17: Skizze (C)
$B_{4} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} \geq r^{2}} =$ „Bereich außerhalb des Kreises, inklusive der Punkte auf dem Kreis“

Abbildung 9.4.18: Skizze (C)

Das folgende Beispiel zeigt einige einfache Fälle von Bereichen, die von Kreisen begrenzt werden, sowie auch einige kompliziertere Fälle, die entstehen, wenn man mehrere Bereiche miteinander oder mit den Bereichen, welche von Geraden begrenzt werden, kombiniert.

Beispiel 9.4.6
Gegeben sind die Kreise

K_1\colon x^2+y^2=4

und

K_2\colon (x-2)^2+y^2=1

sowie die Gerade

g\colon y=-x+1 \MDFPeriod

Die Menge $A_{1} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - 2)^{2} + y^{2} \leq 1}$ besteht aus allen Punkten innerhalb und auf dem Kreis $K_{2}$ :

Abbildung 9.4.19: Skizze (C)
Die Menge $A_{2} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - 2)^{2} + y^{2} < 1} \cap {(x; y) \in ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 4}$ besteht aus allen Punkten, die sowohl innerhalb des Kreises $K_{1}$ als auch innerhalb des Kreises $K_{2}$ liegen, also im Schnitt der beiden Kreisscheiben, aber nicht auf den Kreisen selbst:

Abbildung 9.4.20: Skizze (C)
Die Menge $A_{3} : = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - 2)^{2} + y^{2} < 1 \land y \geq - x + 1}$ besteht aus allen Punkten, die sowohl innerhalb des Kreises $K_{2}$ - aber nicht auf dem Kreis - als auch auf oder oberhalb der Geraden $g$ liegen:

Abbildung 9.4.21: Skizze (C)

Die Schnittpunkte von Kreis und Gerade gehören nicht zu $A_{3}$ .

Aufgabe 9.4.7
Skizzieren Sie jeweils die angegebenen Mengen:

$A = {(x; y) \in ℝ^{2} : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \geq 1} \cap {(x; y) \in ℝ^{2} : y > - \frac{1}{2} x + 1}$
$B = {(x; y) \in ℝ^{2} : | x | < 1} \cup {(x; y) \in ℝ^{2} : (x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 4}$
$C = {(x; y) \in ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} < 4 \land x^{2} + (y + 1)^{2} \geq 1}$

Die Menge $A$ wird gebildet von allen Punkten, die sowohl außerhalb des Kreises oder auf dem Kreis um $(1; 1)$ mit Radius $1$ als auch oberhalb der Gerade $y = - \frac{1}{2} x + 1$ liegen:

Abbildung 9.4.22: Skizze (C)

Die Schnittpunkte von Kreis und Gerade gehören nicht zu $A$ .
Die Punkte in der Ebene, welche die Ungleichung $| x | < 1$ erfüllen, sind diejenigen, für die $- 1 < x < 1$ gilt. Dazu (Vereinigungsmenge!) kommen noch die Punkte auf dem Kreis oder innerhalb des Kreises $(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ :

Abbildung 9.4.23: Skizze (C)

Der Punkt $(- 1; 1)$ gehört mit zu $B$ .
Die Menge $C$ wird gebildet von allen Punkten, die sowohl innerhalb des Kreises $x^{2} + y^{2} = 4$ als auch auf oder außerhalb des Kreises $x^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ liegen:

Abbildung 9.4.24: Skizze (C)

Der Punkt $(0; - 2)$ gehört nicht zu $C$ .

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