8.2.5 Aufgaben

In der ersten Aufgabe wird die Idee zur Definition des Integrals aufgegriffen, mittels geeigneter Zerlegungen den Integralwert zu berechnen, wobei in der Aufgabe neben Rechtecken allgemeiner beispielsweise auch Dreiecksflächen verwendet werden.

Aufgabe 8.2.16
Berechnen Sie zu

f : [- 3; 4] \to ℝ

mit dem unten dargestellten Graphen das Integral

\int_{- 3}^{4} f (x) d x

mit Methoden aus der elementaren Geometrie, indem Sie die entsprechende Fläche „unter dem Graphen der Funktion“ in elementare geometrische Flächen wie Dreiecke oder Rechtecke zerlegen, die entweder oberhalb oder unterhalb der

x

-Achse liegen. Die einzelnen Flächeninhalte können Sie in dieser Situation dann mit Formeln für Dreiecke oder Rechtecke berechnen.

Abbildung 8.2.4: Skizze (C)

Der Integralwert ergibt sich dann als Summe der Teilflächen, die oberhalb der

x

-Achse liegen, abzüglich der Summe der Teilflächen, die unterhalb der

x

-Achse liegen. In diesem Sinne kann man den Integralwert als die Summe vorzeichenbehafteter Flächenwerte verstehen.

Der Integralwert von

\int_{- 3}^{4} f (x) d x

ist

Die Fläche wird mit Geraden durch

x_{0} = - 3

x_{1} = - 1

x_{2} = 0

x_{3} = 1

x_{4} = \frac{3}{2}

x_{5} = 2

x_{6} = 3

und

x_{7} = 4

in Teilflächen zerlegt, die jeweils durch den Graphen von

f

, die

x

-Achse und durch die Geraden

x_{k - 1}

und

x_{k}

für

1 \leq k \leq 7

begrenzt werden.

Es werden die zugehörigen vorzeichenbehafteten Flächeninhalte aufsummiert, sodass sich der Integralwert ergibt:

\int_{-3}^{4} f(x) \MDwSp x % = -\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2} + 1 \cdot 1 % + \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{2} - \frac{\frac{1}{2} \cdot 1}{2} - 1 \cdot 1 - \frac{1 \cdot 1}{2} % = -2\MDFPeriod %%

Die Fläche kann auch in andere Teilflächen zerlegt werden. Wird die Fläche beispielsweise durch

z_{0} = - 3

z_{1} = - 1

z_{2} = \frac{3}{2}

und

z_{3} = 4

in drei Teilflächen zerlegt, hat die Teilfläche

B_{2}

zwischen

z_{1}

und

z_{2}

denselben Flächeninhalt wie die Teilfläche

B_{3}

zwischen

z_{2}

und

z_{3}

, jedoch erhalten die Werte verschiedenes Vorzeichen, da

B_{2}

oberhalb der

x

-Achse liegt und

B_{3}

unterhalb.

Abbildung 8.2.5: Skizze (C)

Somit ist der Integralwert gleich dem negativen Flächeninhalt der Fläche

B_{1}

zwischen

z_{0}

und

z_{1}

, die unterhalb der

x

-Achse liegt.

Aufgabe 8.2.17
Berechnen Sie die folgenden Integrale:

$\int_{0}^{5} 3 d x$ $=$

,
$\int_{0}^{5} - 4 d x$ $=$

,
$\int_{0}^{4} 2 x d x$ $=$

,
$\int_{0}^{4} (4 - x) d x$ $=$

.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man

$\int_{0}^{5} 3 d x = {[3 x]}_{0}^{5} = 15$ ,
$\int_{0}^{5} - 4 d x = {[- 4 x]}_{0}^{5} = - 20$ ,
$\int_{0}^{4} 2 x d x = {[x^{2}]}_{0}^{4} = 16$ ,
$\int_{0}^{4} (4 - x) d x = {[4 x - \frac{1}{2} \cdot x^{2}]}_{0}^{4} = 8$ .

Aufgabe 8.2.18
Der Wert des Integrals

\int_{- π}^{π} (5 x^{3} - 4 \sin (x)) d x

ist

Der Integrand ist ungerade und das Integrationsintervall ist symmetrisch bezüglich

0

, sodass das Integral den Wert

0

hat. Oder es wird das Integral mit dem Hauptsatz berechnet:

\int_{-\pi}^{\pi} \left(5 x^3 - 4 \sin(x)\right) \MD x % = \left[ \frac{5}{4} \cdot x^4 + 4 \cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi} % = \left[ \frac{5}{4} \cdot x^4 + 4 \cos(x) \right]_{-\pi}^{\pi} % = 0\MDFPeriod %%

Aufgabe 8.2.19
Berechnen Sie eine reelle Zahl

z

so, dass der Integralwert

\int_{0}^{2} \left(x^2 + z\cdot x+1\right) \MD x %

den Wert

0

ergibt: Der Wert für

z

ist

z

=

Nimmt man

z

als unbekannte Konstante, so ist

\int_{0}^{2} (x^{2} + z \cdot x + 1) d x = {[\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} z x^{2} + x]}_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 z + 2 .

Also ist

z = - \frac{14}{6} = - \frac{7}{3}

der gesuchte Wert.

Aufgabe 8.2.20
Berechnen Sie die Integrale:

$\int_{- 3}^{2} (1 + 6 x^{2} - 4 x) d x$ $=$

,
$\int_{1}^{9} \frac{5}{\sqrt{4 x}} d x$ $=$

.

Der Integrand

f

mit

f (x) = 1 + 6 x^{2} - 4 x = 6 x^{2} - 4 x + 1

ist ein Polynom, sodass

F

mit

F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x

eine Stammfunktion ist. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{0}^{1} \left(1 + 6 x^2 - 4 x\right) \MD x % = \left[ 2 x^3 - 2 x^2 + x \right]_{-3}^{2} % = 2 (8 - 4) + 2 - (2 (-27 - 9) - 3) = 85 \MDFPeriod %%

Beim zweiten Aufgabenteil ist der Integrand

f (x) = \frac{5}{\sqrt{4 x}} = \frac{5}{2} x^{- 1 / 2}

ein Produkt einer Wurzelfunktion mit einem konstanten Faktor. Damit ist

F

mit

F (x) = 5 x^{1 / 2} = 5 \sqrt{x}

eine Stammfunktion von

f

. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{1}^{9} \frac{5}{\sqrt{4 x}} \MDwSp x % = \left[ 5 \sqrt{x} \right]_{1}^{9} % = 5 (3 - 1) = 10 \MDFPeriod %%

Aufgabe 8.2.21
Der Wert des Integrals

\int_{- 24}^{- 6} \frac{1}{2 x} d x

ist

Zum Integranden

f

mit

f (x) = \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}

für

x < 0

ist

F

mit

F (x) = \frac{1}{2} \ln | x |

eine Stammfunktion. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{-24}^{-6} \frac{1}{2 x} \MDwSp x % = \left[ \frac{1}{2} \ln|x| \right]_{-24}^{-6} % = \frac{1}{2} \left(\ln|-6| - \ln|-24|\right) % = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{24}\right) % = \frac{1}{2} \ln\left(2^{-2}\right) % = -\ln(2) \MDFPeriod %

Aufgabe 8.2.22
Berechnen Sie die Integrale

$\int_{0}^{3} (2 x - 1) d x$ $=$

,
$\int_{- 3}^{0} (1 - 2 x) d x$ $=$

.

Der Integrand

f

mit

f (x) = 2 x - 1

ist eine Polynomfunktion. Damit ist

F

mit

F (x) = x^{2} - x

eine Stammfunktion von

f

. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{0}^{3} (2 x - 1) \MDwSp x % = \left[ x^2 - x \right]_{0}^{3} % = 9 - 3 - 0% = 6 \MDFPeriod %

Im zweiten Aufgabenteil ist der Integrand

f

mit

f (x) = 1 - 2 x

ebenfalls eine Polynomfunktion. Damit ist

F

mit

F (x) = x - x^{2}

eine Stammfunktion von

f

. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{-3}^{0} (1 - 2 x) \MDwSp x % = \left[ x - x^2 \right]_{-3}^{0} % = 0 - (-3 - 9)% = 12 \MDFPeriod %

Aufgabe 8.2.23
Berechnen Sie das Integral

\int_{π}^{3 π} (\frac{3 π}{x^{2}} - 4 \sin (x)) d x

=

Zum Integranden

f

mit

f (x) = \frac{3 π}{x^{2}} - 4 \sin (x)

ist

F

mit

F (x) = - \frac{3 π}{x} + 4 \cos (x)

eine Stammfunktion. Mit dem Hauptsatz folgt

\int_{\pi}^{3 \pi} \left(\frac{3 \pi}{x^2} - 4 \sin(x)\right) \MD x % = \left[ -\frac{3 \pi}{x} + 4 \cos(x) \right]_{\pi}^{3 \pi} % = ( -1 - 4 ) - ( -3 - 4 )% = 2 \MDFPeriod %

Anmerkung: Die periodischen Funktionen

\sin

und

\cos

mit Periode

2 π

haben die Eigenschaft, dass das Integral über eine Periode gleich Null ist. Für andere periodische Funktionen wie zum Beispiel

f

mit

f (x) = \sin (x) + \frac{1}{2}

können sich für das Integral auch Werte ungleich Null ergeben, wenn das Integrationsintervall eine Periode der Funktion umfasst.

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